如何使用 scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b 拟合递推关系？

Question

我最近看了一个video by Veritasium where he went through a fascinating discussion of the logistic map。它让我开始思考递归关系，以及参数递归关系如何适合数据。

我想在 $\hat y_{n+1} = \theta \hat y_{n}(1-\hat y_{n})$ 中对序列 $y_k \in [0, 1]$ 其中 $k=n+1$ 通过使用 L-BFGS-B algorithm available in Scipy 最小化均方误差。这个例子对我推广到将其他递推关系拟合到真实世界的数据很有指导意义。如何实现 objective 函数，其中预测值是递归关系的输出，可以将其传递给 fmin_l_bfgs_b 的 func 参数？

Answer 1

如果我没看错你的问题，你想找到 $\theta$ 的值最小化 $\sum_{n=0}^{N-1} (\hat y_{n+1} - \theta \hat y_{n} (1 - \hat y_{n}))^2$，给定序列 ${\hat y_k}_{k=0}^N$。如果是这样，假设您的数据是 ys 并且您的初始猜测是 x0，您可以通过

def f(l): 
    t = l[0] 
    return ((ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])))**2).sum()

fmin_l_bfgs_b(f, x0=(x0,), approx_grad=True)

例如，如果我们创建一些 theta 大约为 3 的数据：

In [43]: import numpy as np 
    ...: ys = [0.3] 
    ...: theta = 3 
    ...: for _ in range(100): 
    ...:     ys.append((np.random.uniform(-0.02, 0.02) + theta)*ys[-1] * (1 - ys[-1])) 
    ...: ys = np.array(ys) 
    ...:                                                                                        

In [44]: def f(l): 
    ...:     t = l[0] 
    ...:     return ((ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])))**2).sum() 
    ...: fmin_l_bfgs_b(f, x0=(0.5,), approx_grad=True)                                          
Out[44]: 
(array([2.99949454]),
 0.0006258145273212467,
 {'grad': array([-5.70908338e-07]),
  'task': b'CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL',
  'funcalls': 6,
  'nit': 2,
  'warnflag': 0})

这里当然也可以提供渐变；我只是有点懒。

但是，如果这确实是您想要做的，那么您可能需要针对最小二乘问题量身定制的东西（例如 Levenberg--Marquardt）；在 SciPy 中，此类方法在 scipy.optimize.least_squares 中可用。有了这些，您的问题归结为以下几点：

def F(t): 
    return ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1]))

least_squares(F, x0=x0)

根据上面的数据：

In [53]: def F(t): 
    ...:     return ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])) 
    ...:                                                                                        

In [54]: least_squares(F, x0=0.5)                                                               
Out[54]: 
 active_mask: array([0.])
        cost: 0.00031290726365087974
         fun: ...
        grad: array([-2.43698605e-09])
         jac: ...
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 4
        njev: 4
  optimality: 2.4369860459044074e-09
      status: 1
     success: True
           x: array([2.9994946])

如何使用 scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b 拟合递推关系？

How do I fit recurrence relations using scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b?

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