如何使用 PARI/GP 计算幂级数的倒数？

Question

我想反转幂级数 PARI/GP:
如果 $y=a[1]*x+a[2]*x^2+...+O(x^N)$ 由给定数组编码，比如 a=vector(N-1)，我希望 PARI 生成向量 b 使得 $x=b[1]*y+b[2]*y^2+...+O(y^N)$ .
这可以做到 using the Bell polynomials。 Pari 手册有

Bell(k,n=-1)=
{
my(var(i)=eval(Str("X",i)));
my(x,v,dv);
v=vector(k,i,if(i==1,’E,var(i-1)));
dv=vector(k,i,if(i==1,’X*var(1)*’E,var(i)));
x=diffop(’E,v,dv,k)/’E;
if(n<0,subst(x,’X,1),polcoeff(x,n,’X))
}

生产例如

gp > Bell(3)
%3 = X1^3 + 3*X2*X1 + X3

但我不知道如何使用它们，即在 Pari 的后续公式中将值归因于 X1, X2, ...（事实上，我几乎不明白 eval() 和 subst()在上面的公式中工作！）。对于知道的人来说这应该是微不足道的......请帮忙！

Answer 1

PARI 具有进行幂级数回归的内置函数，因此无需进入低级实现，这肯定是非常次优和复杂的。

使用示例：

serreverse( x / (1 + x)^2 + O(x^20))

第二个例子（基于问题中给出的link中的例子）

serreverse(atan(x + O(x^20)))
tan(x + O(x^20))

如果您的级数在向量中 v，您将首先将其转换为幂级数，然后调用 serreverse。例如：

serreverse(Ser(v))

稍后要转换回向量，请使用 Vec 函数。从幂级数转换为向量时，PARI 会去掉任何前导零，这很烦人。为防止这种情况，您通常会给出第二个参数 -n 或 -(n+1)，其中 n 是幂级数中的项数。

如何使用 PARI/GP 计算幂级数的倒数？

How to use PARI/GP for calculating the inverse of a power series?

array-formulas

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