如何在 mathemathica 中定义一个使用复杂递推关系的函数？

Question

我正在尝试编写一个小脚本来计算整数序列。我试图用代码编写的函数是黑板上的函数 a(n)。问题是我期待我在脚本中定义的函数 h(n) 作为结果给出一个数字，但它给出了其他东西：对于 h(2) 它给出了 ArgMax[{p, HarmonicNumber[p] <= 1}, p, Integers] 我该如何更正？（你必须明白，我绝不是一个程序员，也不了解 mathematica。谢谢你的 advnace。我写的脚本是这个：

    h[n_] := (ArgMax[{p, 
      Sum[1/s, {s, 1 + Sum[h[k], {k, 1, (n - 1)}], p}] <= 1}, p, 
     Integers]) - Sum[h[k], {k, 1, (n - 1)}]; h[1] = 1;

a(n)=(maximum p such that the sum from s equals r to p is less or equal than one)-r+1, where r=1+the sum from k=1 to (n-1) of a(k), and a(1)=1

PD：那些看起来像 v 的字母是 r。对不起。

Answer 1

您收到此答案的主要原因是 Mathematica 中的 Sum 命令进行了复杂的符号计算，将术语和表达式重写为经典数学函数，试图对所有事情做出尽可能少的假设。

当然，如果您对整数的倒数求和，它会尝试返回调和数。

它通常很有用，但可能有交叉用途。

为避免这种情况，只需替换

Sum[ , {var, start, end}]

来自

Total[Table[ , {var, start, end}]]

它应该给你你想要的，而不需要额外的时间来对被加数进行符号解释。

总之，你的代码有大毛病。

你应该为 h 使用 memoization
您想要找到最大 p，使得从 r 开始的逆元之和小于或等于 1。您的代码不会这样做。您不能简单地将不等式放入范围参数中。您必须使用控件循环求和或使用反函数。

Answer 2

a[1] = 1;

a[n_] := Module[{sum = 0},
  r = 1 + Sum[a[k], {k, n - 1}];
  x = r;
  While[sum <= 1, sum += 1/x++];
  p = x - 2;
  p - r + 1]

Table[a[n], {n, 6}]

{1, 2, 6, 16, 43, 117}

a[4] 的结果是 16 而不是 14。

为了说明，当n = 4

r = 1 + Sum[a[k], {k, 4 - 1}]

  = 1 + a[1] + a[2] + a[3]       (* refer to established results for a[n] *)

  = 1 +  1  +  2  +  6  =  10

sum = 0;
x = r;
While[sum <= 1, sum += 1/x++];
p = x - 2;
p - r + 1

16

或者换一种形式

Total[Table[1/s, {s, 10, 25}]] <= 1   (* True *)

p - r + 1 = 25 - 10 + 1 = 16

使用 memoisation，正如奥杰拉德所提到的

Clear[a]

a[1] = 1;

a[n_] := a[n] = Module[{sum = 0},
   r = 1 + Sum[a[k], {k, n - 1}];
   x = r;
   While[sum <= 1, sum += 1/x++];
   p = x - 2;
   p - r + 1]

只减少后面的运行时间9秒

Timing[Table[a[n], {n, 14}]]

{40.8906, {1, 2, 6, 16, 43, 117, 318, 865, 2351, 6391, 17372, 47222, 128363, 348927}}

如何在 mathemathica 中定义一个使用复杂递推关系的函数？

How do I define a function in mathemathica that uses a complicated recurrence relation?

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