部分应用的函数类型 (a ->) 作为 Haskell 中的 Functor 实例

Question

我正在阅读 "Programming in Haskell" 这本书（第二版），偶然发现练习 2，第 12 章，第 2 部分：

instance Functor ((->) a) where
  fmap = TODO

答案是：

instance Functor ((->) a) where
  fmap = (.)

这让我挠了挠头好一阵子。我想它在直觉层面上对我来说确实有意义（部分应用函数类型 a -> 是一个函子，而组合是 fmap），但我认为一些很好的例子会巩固我对练习的理解。

我想到了这两个：

main = do
    putStrLn . show $ (fmap (+1) (*2)) (5 :: Int)
    putStrLn . show $ (fmap (show) (+1)) 3

我的示例是否正确说明了练习？

fmap 给定两个参数：

部分应用函数（函数）
另一个部分应用的函数（仿函数）

更新

fmap 给定两个参数：

function（函数）
另一个函数（函子）

我觉得很奇怪，我不确定我的概念是否正确。

我在 SO 上看到了一些类似的问题（比如 ) where this one 几乎是我要找的，但不完全是（我只是在寻找函子的例子，没有别的 - 没有应用程序，也没有单子）。

Answer 1

真的没有比这更重要的了，对于一个函子 f， fmap 的实现（已知对于任何可能的 f 最多只有一个实现）必须具有类型 (a -> b) -> f a -> f b，并满足两个函子定律：

fmap id = id
fmap (g . h) = fmap g . fmap h

当 f 是类型构造函数时 (->) r - 即当 f a 表示 r -> a - 那么所需的类型签名是：

(a -> b) -> (r -> a) -> (r -> b)

（最后一对括号是不必要的，但我把它们留在里面是因为它使 "pattern" 更容易看到），很容易看到正是 [= 的签名22=]运算符。

至于这两个定律，很明显，当您写下它们所说的内容时，它们必须成立。我将通过详细地写出所有内容来证明它们：

fmap id = (.) id
        = \g -> id . g
        = \g -> (\a -> id (g a))
        = \g -> (\a -> g a)
        = \g -> g
        = id

和

fmap (g . h) = (.) (g . h)
             = \g1 -> (g . h) . g1
             = \g1 -> \a -> ((g . h) . g1) a
             = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

(fmap g) . (fmap h) = ((.) g) . ((.) h)
                    = \g1 -> ((.) g) (h . g1)
                    = \g1 -> g . h . g1
                    = \g1 -> \a -> g (h (g1 a))

所以那些也是一样的。

（不要太担心最后的推导 - 通常这些事情似乎很难遵循如何从一行到下一行的逻辑，即使在这里它们基本上都是使用的定义组合。这实际上只是表达了函数组合是关联的这一明显且众所周知的事实。无论如何，这是一个普遍的结果，除了我相信某些病态类型外，如果满足第一个函子定律，那么第二个将总是自动满足。）

重要的是：当 f 被定义为 f a = r -> a 时，组合运算符与 fmap 具有相同的类型，并且满足两个函子定律 - 因此组合是一个fmap 的合法定义（以及仅这样的定义）为 f 创建一个 Functor 实例。真的没有比这更重要的了，至少在形式上是这样。

部分应用的函数类型 (a ->) 作为 Haskell 中的 Functor 实例

Partially applied function type (a ->) as Functor instance in Haskell

haskell

functor