如何使用中点法积分粒子

Question

我正在使用欧拉方法在物理引擎中对粒子进行数值积分。

float inverseMass;
Vector3 position, velocity;
Vector3 sumForces, gravity, inputForce;
void Particle::Integrate(float dt) {
   sumForces = (gravity+inputForce)*dt;
   Vector3 a = sumForces*inverseMass;
   velocity += a;
   position += velocity*dt;
}

我想用中点法实现更好的积分器。基于本课程 https://www.cs.cmu.edu/~baraff/pbm/constraints.pdf，使用中点法，您可以执行完整的欧拉步，然后计算中点处粒子上的力，然后使用该中点值执行步。

我实现了第一步。

void Particle::Integrate(float dt) {
   //Take full Euler step
   Vector3 sumForces = (gravity+inputForce)*dt;
   Vector3 a = sumForces*inverseMass;
   Vector3 tempVelocity = a+velocity;
   Vector3 deltaX += tempVelocity*dt;

   Vector3 midpoint = deltaX + position;

}

我该如何从这里继续？如何计算中点的力？难道我只计算半个时间步，那么计算中点位置的目的是什么？

Answer 1

你必须考虑到你的状态包含两个主要组成部分，位置 x 和速度 v。该方法必须针对完整状态统一制定，

dx1 = v*dt,           dv1 = acc(t,x,v)*dt
dx2 = (v+0.5*dv1)*dt, dv2 = acc(t+0.5*dt, x+0.5*dx1, v+0.5*dv1)*dt

x = x + dx2,          v = v+dv2.

写下第一性原理的公式后，您现在可以看到消除 dx 向量相对容易。因此它仍然需要计算

dv1 = acc(t,x,v)*dt,
dv2 = acc(t+0.5*dt, x+0.5*v*dt, v+0.5*dv1)*dt,
x = x + (v+0.5*dv1)*dt,
v = v + dv2

如何使用中点法积分粒子

How to use midpoint method to integrate a particle

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