如何阻止我的 Runge-Kutta2 (Heun) 方法爆炸？

Question

我目前正在尝试编写一些 python 代码来求解一阶 ODE 的任意系统，使用由值 alpha、gamma（两个维度 m 的向量）定义的一般显式 Runge-Kutta 方法和用户传入的 Butcher table 的 beta（维度为 m x m 的下三角矩阵）。我的代码似乎适用于单个 ODE，已经在几个不同的示例中对其进行了测试，但我正在努力将我的代码推广到向量值 ODE（即系统）。

特别是，我尝试使用代码中给出的 Butcher Tableau 值定义的 Heun 方法求解 Van der Pol 振荡器 ODE（简化为一阶系统），但我收到错误

"RuntimeWarning: overflow encountered in double_scalars f = lambda t,u: np.array(... etc)" and

"RuntimeWarning: invalid value encountered in add kvec[i] = f(t+alpha[i]*h,y+h*sum)"

其次是我的解决方案向量，它显然已经爆炸了。请注意，下面注释掉的代码是我尝试并正确求解的单个 ODE 示例之一。有人可以帮忙吗？这是我的代码：

import numpy as np 

def rk(t,y,h,f,alpha,beta,gamma):
    '''Runga Kutta iteration'''
    return y + h*phi(t,y,h,f,alpha,beta,gamma)

def phi(t,y,h,f,alpha,beta,gamma):
    '''Phi function for the Runga Kutta iteration'''
    m = len(alpha)
    count = np.zeros(len(f(t,y)))
    kvec = k(t,y,h,f,alpha,beta,gamma)
    for i in range(1,m+1):
        count = count + gamma[i-1]*kvec[i-1]
    return count

def k(t,y,h,f,alpha,beta,gamma):
    '''returning a vector containing each step k_{i} in the m step Runga Kutta method'''
    m = len(alpha)
    kvec = np.zeros((m,len(f(t,y))))
    kvec[0] = f(t,y)
    for i in range(1,m):
        sum = np.zeros(len(f(t,y)))
        for l in range(1,i+1):
            sum = sum + beta[i][l-1]*kvec[l-1]
        kvec[i] = f(t+alpha[i]*h,y+h*sum)
    return kvec

def timeLoop(y0,N,f,alpha,beta,gamma,h,rk):
    '''function that loops through time using the RK method'''
    t  = np.zeros([N+1])
    y  = np.zeros([N+1,len(y0)])
    y[0] = y0
    t[0] = 0
    for i in range(1,N+1):
        y[i] = rk(t[i-1],y[i-1], h, f,alpha,beta,gamma)
        t[i] = t[i-1]+h
    return t,y

#################################################################

'''f  = lambda t,y: (c-y)**2
Y  = lambda t: np.array([(1+t*c*(c-1))/(1+t*(c-1))])
h0 = 1
c = 1.5
T = 10
alpha = np.array([0,1])
gamma = np.array([0.5,0.5])
beta = np.array([[0,0],[1,0]])
eff_rk   = compute(h0,Y(0),T,f,alpha,beta,gamma,rk, Y,11)'''

#constants
mu = 100
T = 1000
h = 0.01
N = int(T/h)

#initial conditions
y0 = 0.02
d0 = 0
init = np.array([y0,d0])

#Butcher Tableau for Heun's method
alpha = np.array([0,1])
gamma = np.array([0.5,0.5])
beta = np.array([[0,0],[1,0]])

#rhs of the ode system
f = lambda t,u: np.array([u[1],mu*(1-u[0]**2)*u[1]-u[0]])

#solving the system
time, sol = timeLoop(init,N,f,alpha,beta,gamma,h,rk)
print(sol)

Answer 1

您的步长不够小。 mu=100 的 Van der Pol 振荡器是一个快慢系统，在模式切换时有非常急转弯，因此相当僵硬。对于显式方法，这需要较小的步长，最小的合理步长是 1e-5 到 1e-6。您已经得到了 h=0.001 的极限环解，结果速度高达 150。

您可以通过使用不同的 velocity/impulse 变量来降低一些刚度。在等式中

    x'' - mu*(1-x^2)*x' + x = 0

你可以把前两项组合成导数，

    mu*v = x' - mu*(1-x^2/3)*x

这样

    x' = mu*(v+(1-x^2/3)*x)
    v' = -x/mu

第二个方程现在在接近极限环时均匀变慢，而第一个方程在 v 离开立方体 v=x^3/3-x 时有较长的相对直线跳跃。

这与原始 h=0.01 很好地集成，将解决方案保持在框内 [-3,3]x[-2,2]，即使它显示了一些奇怪的振荡，这些振荡对于较小的步长和精确的解决方案是不存在的。

如何阻止我的 Runge-Kutta2 (Heun) 方法爆炸？

How can I stop my Runge-Kutta2 (Heun) method from exploding?

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