scipy.linalg.expm hermitian 不是特殊酉

Question

如果我有一个（真实的）厄密矩阵，例如

H = matrix([[-2. ,  0.5,  0.5,  0. ],
        [ 0.5,  2. ,  0. ,  0.5],
        [ 0.5,  0. ,  0. ,  0.5],
        [ 0. ,  0.5,  0.5,  0. ]])

（这个矩阵是厄密矩阵；它是与外场耦合的2自旋伊辛链的哈密顿量。）

那么存在一个特殊的正交变换O（保留矩阵的列向量和行向量的长度）s.t.

H = O.transpose() @ D @ O

其中 D 是对角线。对于矩阵指数，这导致

T = expm(1j * H) = O.transpose() @ expm(1j * D) @ O

因此 T 的所有 column/row 向量的长度必须为 1。

如果我使用 scipy.linalg.expm 这属性是违反的：

In [1]: import numpy as np                                                      

In [2]: from numpy import matrix                                                

In [3]: from scipy.linalg import expm                                           

In [4]: H = matrix([[-2. ,  0.5,  0.5,  0. ], 
   ...:         [ 0.5,  2. ,  0. ,  0.5], 
   ...:         [ 0.5,  0. ,  0. ,  0.5], 
   ...:         [ 0. ,  0.5,  0.5,  0. ]])                                      

In [5]: T = expm(1j * H)                                                        

In [6]: np.sum(np.abs(T[0]))                                                    
Out[6]: 1.6099093263121051

In [7]: np.sum(np.abs(T[1]))                                                    
Out[7]: 1.609909326312105

In [8]: np.sum(np.abs(T[2]))                                                    
Out[8]: 1.7770244703003222

In [9]: np.sum(np.abs(T[3]))                                                    
Out[9]: 1.7770244703003222

这是 expm 中的错误还是我在这里犯了错误？

Answer 1

您使用了错误的规范。使用

np.sqrt( np.sum( np.abs(T[0])**2 ) )

或者更短的方式

np.linalg.norm( T[0] )

scipy.linalg.expm hermitian 不是特殊酉

scipy.linalg.expm of hermitian is not special unitary

python

numpy

matrix

linear-algebra

scipy