确定数据的回归系数 - MATLAB
Determining regression coefficients for data - MATLAB
我正在做一个涉及科学计算的项目。以下是我经过一些实验得到的三个变量及其值。
还有一个包含三个未知数的方程式，a、b 和 c：
x=(a+0.98)/y+(b+0.7)/z+c
如何使用上面的方法获取 a,b,c 的值？这在 MATLAB 中可行吗？
这听起来像是一个回归问题。假设测量中无法解释的误差服从高斯分布，您可以通过 least squares 找到参数。基本上，您必须重写方程式，以便将其变成 ma + nb + oc = p 的形式，然后您有 6 个方程式和 3 个未知数 (a, b, c)，这些参数可以通过优化找到至少广场。因此，通过一些代数，我们得到：
za + yb + yzc = xyz - 0.98z - 0.7z
因此，m = z, n = y, o = yz, p = xyz - 0.98z - 0.7z。我会把它留给你作为练习来验证我的代数是否正确。然后你可以形成矩阵方程：
Ax = d
我们有 6 个方程，我们想求解 x，其中 x = [a b c]^{T}。要求解 x，您可以使用所谓的 pseudoinverse 检索参数，如果您要使用相同的输入数据。
换句话说：
x = A^{+}d
A^{+} 是矩阵 A 的伪逆矩阵，是矩阵向量与向量 d.
的乘积
为了将我们的想法转化为代码，我们将定义我们的输入数据，形成 A 矩阵和 d 向量，其中它们之间共享的每一行都是一个方程，然后使用伪逆找到我们的参数。您可以使用 ldivide (\) 运算符来完成这项工作：
%// Define x y and z
x = [9.98; 8.3; 8.0; 7; 1; 12.87];
y = [7.9; 7.5; 7.4; 6.09; 0.9; 11.23];
z = [7.1; 5.6; 5.9; 5.8; -1.8; 10.8];
%// Define A matrix
A = [z y y.*z];
%// Define d vector
d = x.*y.*z - 0.98*z - 0.7*z;
%// Find parameters via least-squares
params = A\d;
params存储参数a、b和c，我们得到：
params =
-37.7383
-37.4008
19.5625
如果您想仔细检查这些值的接近程度，您可以简单地在 post 中使用上面的表达式并与 x 中的每个值进行比较：
a = params(1); b = params(2); c = params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
disp([x out])
9.9800 9.7404
8.3000 8.1077
8.0000 8.3747
7.0000 7.1989
1.0000 -0.8908
12.8700 12.8910
你可以看到它并不完全接近，但是你得到的参数在最小二乘误差意义上是最好的。
奖金 - 适合 运行SAC
您可以看到一些预测值（输出中的右列）比其他预测值更偏。这是因为我们使用了您数据中的所有点来找到合适的模型。一种用于最小化误差并提高模型估计稳健性的技术是使用称为 RANSAC 或 运行dom SAmple C共识。 运行SAC 背后的基本方法是，对于一定数量的迭代，您获取数据并 运行dom 仅对找到模型所需的最少点进行采样。找到此模型后，如果使用这些参数来描述数据，就会发现总体错误。您保持 运行dom 只选择点，找到您的模型，并找到错误和产生最少错误量的迭代将是您定义整体模型的参数。
正如您在上面看到的，我们可以定义的一个错误是真实 x 点与预测 x 点之间的绝对差之和。还有许多其他度量，例如误差平方和，但现在让我们坚持使用一些简单的方法。如果您看一下上面的公式，我们至少需要 三个方程 才能定义 a、b 和 c，以及所以对于每次迭代，我们运行dom只有select三个点没有替换我可能会添加，找到我们的模型，确定错误，并不断迭代并找到误差最少的参数。
因此，您可以像这样编写 运行SAC 算法：
%// Define cost and number of iterations
cost = Inf;
iterations = 50;
%// Set seed for reproducibility
rng(123);
%// Define x y and z
x = [9.98; 8.3; 8.0; 7; 1; 12.87];
y = [7.9; 7.5; 7.4; 6.09; 0.9; 11.23];
z = [7.1; 5.6; 5.9; 5.8; -1.8; 10.8];
for idx = 1 : iterations
%// Determine where we would need to sample
ind = randperm(numel(x), 3);
xs = x(ind); ys = y(ind); zs = z(ind); %// Sample
%// Define A matrix
A = [zs ys ys.*zs];
%// Define d vector
d = xs.*ys.*zs - 0.98*zs - 0.7*zs;
%// Find parameters via least-squares
params = A\d;
%// Determine error
a = params(1); b = params(2); c = params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
err = sum(abs(x - out));
%// If error produced is less than current error
%// then save parameters
if err < cost
cost = err;
final_params = params;
end
end
当我运行以上代码时，我得到了我的参数：
final_params =
-38.1519
-39.1988
19.7472
将此与我们的 x 进行比较，我们得到：
a = final_params(1); b = final_params(2); c = final_params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
disp([x out])
9.9800 9.6196
8.3000 7.9162
8.0000 8.1988
7.0000 7.0057
1.0000 -0.1667
12.8700 12.8725
如您所见，数值有所提高-尤其是第四点和第六点...并将其与之前的版本进行比较：
9.9800 9.7404
8.3000 8.1077
8.0000 8.3747
7.0000 7.1989
1.0000 -0.8908
12.8700 12.8910
你可以看到第二个值比上一个版本更差，但其他数字更接近真实值。
玩得开心！
我正在做一个涉及科学计算的项目。以下是我经过一些实验得到的三个变量及其值。
还有一个包含三个未知数的方程式，a、b 和 c：
x=(a+0.98)/y+(b+0.7)/z+c
如何使用上面的方法获取 a,b,c 的值？这在 MATLAB 中可行吗？
这听起来像是一个回归问题。假设测量中无法解释的误差服从高斯分布，您可以通过 least squares 找到参数。基本上，您必须重写方程式，以便将其变成 ma + nb + oc = p 的形式，然后您有 6 个方程式和 3 个未知数 (a, b, c)，这些参数可以通过优化找到至少广场。因此，通过一些代数，我们得到：
za + yb + yzc = xyz - 0.98z - 0.7z
因此，m = z, n = y, o = yz, p = xyz - 0.98z - 0.7z。我会把它留给你作为练习来验证我的代数是否正确。然后你可以形成矩阵方程：
Ax = d
我们有 6 个方程，我们想求解 x，其中 x = [a b c]^{T}。要求解 x，您可以使用所谓的 pseudoinverse 检索参数，如果您要使用相同的输入数据。
换句话说：
x = A^{+}d
A^{+} 是矩阵 A 的伪逆矩阵，是矩阵向量与向量 d.
为了将我们的想法转化为代码，我们将定义我们的输入数据，形成 A 矩阵和 d 向量，其中它们之间共享的每一行都是一个方程，然后使用伪逆找到我们的参数。您可以使用 ldivide (\) 运算符来完成这项工作：
%// Define x y and z
x = [9.98; 8.3; 8.0; 7; 1; 12.87];
y = [7.9; 7.5; 7.4; 6.09; 0.9; 11.23];
z = [7.1; 5.6; 5.9; 5.8; -1.8; 10.8];
%// Define A matrix
A = [z y y.*z];
%// Define d vector
d = x.*y.*z - 0.98*z - 0.7*z;
%// Find parameters via least-squares
params = A\d;
params存储参数a、b和c，我们得到：
params =
-37.7383
-37.4008
19.5625
如果您想仔细检查这些值的接近程度，您可以简单地在 post 中使用上面的表达式并与 x 中的每个值进行比较：
a = params(1); b = params(2); c = params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
disp([x out])
9.9800 9.7404
8.3000 8.1077
8.0000 8.3747
7.0000 7.1989
1.0000 -0.8908
12.8700 12.8910
你可以看到它并不完全接近，但是你得到的参数在最小二乘误差意义上是最好的。
奖金 - 适合 运行SAC
您可以看到一些预测值（输出中的右列）比其他预测值更偏。这是因为我们使用了您数据中的所有点来找到合适的模型。一种用于最小化误差并提高模型估计稳健性的技术是使用称为 RANSAC 或 运行dom SAmple C共识。 运行SAC 背后的基本方法是，对于一定数量的迭代，您获取数据并 运行dom 仅对找到模型所需的最少点进行采样。找到此模型后，如果使用这些参数来描述数据，就会发现总体错误。您保持 运行dom 只选择点，找到您的模型，并找到错误和产生最少错误量的迭代将是您定义整体模型的参数。
正如您在上面看到的，我们可以定义的一个错误是真实 x 点与预测 x 点之间的绝对差之和。还有许多其他度量，例如误差平方和，但现在让我们坚持使用一些简单的方法。如果您看一下上面的公式，我们至少需要 三个方程 才能定义 a、b 和 c，以及所以对于每次迭代，我们运行dom只有select三个点没有替换我可能会添加，找到我们的模型，确定错误，并不断迭代并找到误差最少的参数。
因此，您可以像这样编写 运行SAC 算法：
%// Define cost and number of iterations
cost = Inf;
iterations = 50;
%// Set seed for reproducibility
rng(123);
%// Define x y and z
x = [9.98; 8.3; 8.0; 7; 1; 12.87];
y = [7.9; 7.5; 7.4; 6.09; 0.9; 11.23];
z = [7.1; 5.6; 5.9; 5.8; -1.8; 10.8];
for idx = 1 : iterations
%// Determine where we would need to sample
ind = randperm(numel(x), 3);
xs = x(ind); ys = y(ind); zs = z(ind); %// Sample
%// Define A matrix
A = [zs ys ys.*zs];
%// Define d vector
d = xs.*ys.*zs - 0.98*zs - 0.7*zs;
%// Find parameters via least-squares
params = A\d;
%// Determine error
a = params(1); b = params(2); c = params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
err = sum(abs(x - out));
%// If error produced is less than current error
%// then save parameters
if err < cost
cost = err;
final_params = params;
end
end
当我运行以上代码时，我得到了我的参数：
final_params =
-38.1519
-39.1988
19.7472
将此与我们的 x 进行比较，我们得到：
a = final_params(1); b = final_params(2); c = final_params(3);
out = (a+0.98)./y+(b+0.7)./z+c;
disp([x out])
9.9800 9.6196
8.3000 7.9162
8.0000 8.1988
7.0000 7.0057
1.0000 -0.1667
12.8700 12.8725
如您所见，数值有所提高-尤其是第四点和第六点...并将其与之前的版本进行比较：
9.9800 9.7404
8.3000 8.1077
8.0000 8.3747
7.0000 7.1989
1.0000 -0.8908
12.8700 12.8910
你可以看到第二个值比上一个版本更差，但其他数字更接近真实值。
玩得开心！