Coq 使用 refine with bi-implication

Question

我不确定如何表达我的问题，因为我是 coq 的新手。我想将 refine 与包含双向蕴涵的定理一起使用。示例代码：

Parameters A B C : Prop.

Theorem t1:
  A -> B -> C.
Admitted.

Theorem t2:
  A -> B <-> C.
Admitted.

Theorem test1:
  A -> B -> C.
Proof.
  intros.
  refine (t1 _ _).
  assumption.
  assumption.
Qed.

Theorem test2:
  A -> B -> C.
Proof.
  intros A B.
  refine (t2 _ _).

t1 和 t2 是我想在 refine 中使用的定理。 t1 的工作方式符合我的预期（如 test1 所示）。但我对 t2 有疑问。我得到的错误是：

Ltac call to "refine (uconstr)" failed.
Error: Illegal application (Non-functional construction): 
The expression "t2 ?a" of type "Top.B <-> C"
cannot be applied to the term
 "?y" : "?T"
Not in proof mode.

我试过的是这样的：

Theorem test3:
  A -> B -> C.
Proof.
  intros.
  cut (B <-> C).
  firstorder.
  refine (t2 _).
  assumption.
Qed.

但是随着道具和证明的加长，它变得有点乱。（我还必须自己证明双向蕴涵）。我可以使用 t2 并以更简单的方式获得它的子目标吗？

谢谢

Answer 1

A <-> B 定义为 (A -> B) /\ (B -> A)，因此您可以使用 proj1、proj2:

进行投影

Theorem test2:
  A -> B -> C.
Proof.
  intros A B.
  refine (proj1 (t2 _) _).

Coq 使用 refine with bi-implication

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