如何对由多项式参数化的 2D space 曲线进行积分？

Question

我有一条简单的 2D 曲线 space (x, y) 由多项式作为 t 的函数参数化，我想知道该曲线的长度。我如何做到这一点？我查看了 scipy.integrate 和 numpy.polyint，但没有找到解决方案。似乎它们都只能对一维多项式进行积分。这是曲线的示例：

import numpy as np
from scipy import integrate


x0, y0 = 0.0, 0.0
vx, vy = 0.1, 0.1
ax, ay = -0.0001, 0
coeff = np.array([[ax, ay], [vx, vy], [x0, y0]])

pos = lambda t: np.polyval(coeff, t)

Answer 1

弧长是曲线参数上的单变量多项式。您需要定义弧长微分的表达式，然后才能对其进行积分，如 the link in the comments 中所述。正如你在那里看到的，它可以简单地表示为向量的欧几里德范数(dx/dt, dy/dt)。因此，您可以通过以下方式实现它：

import numpy as np
import scipy

x0, y0 = 0.0, 0.0
vx, vy = 0.1, 0.1
ax, ay = -0.0001, 0
coeff = np.array([[ax, ay], [vx, vy], [x0, y0]])

# Position expression is not really necessary
pos = lambda t: np.polyval(coeff, t)

# Derivative of the arc length
def ds(t):
    # Coefficients of polynomial derivative
    coeff_d = coeff[:-1] * np.arange(len(coeff) - 1, 0, -1)[:, np.newaxis]
    # Norm of position derivatives
    return np.linalg.norm(np.polyval(coeff_d, np.expand_dims(t, -1)), axis=-1)

# Integrate across parameter interval
t_start, t_end = 0, 1
arc_length, err = scipy.integrate.quad(ds, t_start, t_end)
print(arc_length)
# 0.1413506691471052

当然，你可以尝试求出ds的积分的解析表达式，这样就不需要任何积分方法了

如何对由多项式参数化的 2D space 曲线进行积分？

How do you integrate over a curve in 2D space that is parameterized by a polynomial?

python

numpy

scipy

polynomials

integrate