浮点溢出和不精确

Question

我发现在处理 Intel 硬件上的浮点错误时存在一些不一致，我想知道这是 Intel 硬件错误还是只是浮点运算工作的一般方式。场景：

1) 10000 + 最大浮点数 = 3.40282e+38 产生的错误：FE_INEXACT

2) 最大浮点数 + 最大浮点数 = inf 错误：FE_OVERFLOW、FE_INEXACT

3) 1.1 * 最大浮点数 = inf 错误：FE_OVERFLOW、FE_INEXACT

场景 1 与其他两个不一致，因为我超出了浮动范围，但我没有像情况 2 和 3 那样溢出。

我不明白为什么在第一种情况下我没有溢出，数字只是饱和，但在第二种和第三种情况下，数字没有饱和，我会溢出。

#include <iostream>
#include <limits>
#include <cstdio>
#include <cfenv>

void print_error() {    
    const int err = fetestexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    if (err & FE_INVALID) cout << "FE_INVALID " << endl;            
    if (err & FE_DIVBYZERO) cout << "FE_DIVBYZERO "<< endl;
    if (err & FE_OVERFLOW) cout << "FE_OVERFLOW "<< endl;        
    if (err & FE_UNDERFLOW) cout << "FE_UNDERFLOW " << endl;
    if (err & FE_INEXACT) cout << "FE_INEXACT " << endl;
    cout << endl;      
}

int main() {
    feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);        
    cout << numeric_limits<float>::max() + 100000.0f << endl;
    print_error();

    feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);        
    cout << numeric_limits<float>::max() + numeric_limits<float>::max() << endl;
    print_error();    

    feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    cout << 1.1f*numeric_limits<float>::max() << endl;
    print_error();
}

Answer 1

Scenario 1 is inconsistent with other two because I was exceeding float range but I did not get overflow like in case 2 and 3.

总和 10000 + maxfloat 不能精确表示，因此 FE_INEXACT。相反，总和是四舍五入的。舍入选择包括最大的有限数 maxfloat 和下一个最大的有限数 "as if" 它可以用额外的指数范围表示。舍入到最近，总和四舍五入到 maxfloat 因为它更接近。

在情况 2 和 3 中，总和四舍五入到或高于下一个最大的有限 "as if" 数字。由于四舍五入和meets/exceeds这个数，返回无穷大。

下面是显示最后 3 个有限浮点数的数字行，包括 FLT_MAX。
如果 float 有更多的指数范围，FLT_MAX 之后的下两个数字将是右边的 2 个：'FLT_MAX next "as if"' 和 unnamed.
"Half-way" 介于 FLT_MAX 和下一个最大的有限 "as if" 数字之间。

当总和大于 FLT_MAX 但小于 "Half-way" 时，四舍五入会导致 FLT_MAX（情况 1）。当总和更大时，结果为无穷大。 (案例2,3).

Answer 2

有限范围上限的有限结果的舍入方式是：

计算如果指数范围永远持续下去，将产生什么可表示的数字。
如果该结果超出实际范围，则产生无穷大并报告溢出和不准确。否则，生成该数字（如果需要四舍五入，则报告不准确）。

这里的逻辑是，如果四舍五入会产生指数范围内的数字，那么就不会溢出（即使数学结果超过了最大可表示的有限数，只要正常四舍五入就会带来它回到范围内）。

IEEE-754 32位二进制的最大有限值为2¹²⁸−2¹⁰⁴。如果指数范围是无限的，下一个可重复的值将是 2¹²⁸.

我们先来看案例2和案例3。在情况 2 中，我们将最大有限值加到自身，所以我们有 (2¹²⁸−2¹⁰⁴) + (2¹²⁸−2¹⁰⁴)。在数学上，这是 2¹²⁹−2¹⁰⁵。如果指数范围是无限的，这将是可表示的，因此不需要四舍五入；这将是结果。那么这个数的指数超出了实际的指数范围，所以产生了无穷大。

在情况 3 中，我们将最大有限值乘以 1.1（实际上必须是接近 1.1 的值，因为 1.1 本身不可表示）。所以我们有大约 (2¹²⁸−2¹⁰⁴) • 1.1。实数结果将超过 2¹²⁸，因此，如果指数范围是无限的，浮点结果将超过 2¹²⁸ .该数字的指数超出实际指数范围，因此产生无穷大。

现在 return 到情况 1。我们将 10,000 添加到最大有限值，所以我们有 10,000 + (2¹²⁸−2¹⁰⁴), 或 2¹²⁸−2¹⁰⁴+10,000。最大有限值 (2¹²⁸−2¹⁰⁴) 和下一个可以用无限指数范围表示的值 (2¹²⁸) 是 2¹²⁸−2¹⁰⁵。我们的实数结果 2¹²⁸−2¹⁰⁴+10,000 小于该中点。因此，当使用舍入到最近的偶数时，我们会将结果向下舍入为 2¹²⁸−2¹⁰⁴。该数字在实际指数范围内（其指数为 127——我们刚刚将其表示为 2¹²⁸ 减去一位而不是 2¹²⁷ 加很多）。结果就是这样。

因此10,000加上最大有限值产生最大有限值。它只是“一点点”超过了最大有限值并向下舍入。其他操作超过了最大有限值很多并被四舍五入。

浮点溢出和不精确

Floating point overflow and inexactness

hardware

floating-point

fpu