计算递归关系 T(n)=T(n / [(log n)^2]) + Θ(1)

Question

我尝试了很多小时来解决这个问题，我认为解决方案是 O(log n/[log (log n)^2])。但我不是 sure.Is 这个解决方案正确吗？

Answer 1

展开等式：

T(n) = (T(n/(log^2(n)*log(n/log^2(n))^2) + Theta(1)) Theta(1) = 
        T(n/(log^4(n) + 4 (loglog(n))^2 - 4log(n)loglog(n)) + 2 * Theta(1)

我们知道 n/(log^4(n) + 4 (log(log(n)))^2 - 4log(n)log(log(n)) 渐近地大于 n/log^4(n)。可以看到，每次n除以log^2(n)。因此，我们可以说，如果我们计算 n 除以 log^2(n) 直到达到 1 的高度，它将是 T(n) 的下界。

因此，扩展树的高度将是k使得

n = (log^2(n))^k = lof^2k(n) =>‌ (take a log) 
    log(n) = 2k log(log(n)) => k = log(n)/(2 * log(log(n)))

因此，T(n) = Omega(log(n)/log(log(n)))。

对于上限，我们知道 n/(i-th statement) <‌ n/log^i(n)（而不是应用 log^2(n)，我们应用了 log(n)），我们可以说 [= 的除法高度15=] by log(n) 将是 T(n) 的上限。因此，如：

n = log^k(n) => log(n) = k log(log(n)) => k = log(n) / log(log(n))

我们可以说 T(n) = O(log(n) / log(log(n))).

计算递归关系 T(n)=T(n / [(log n)^2]) + Θ(1)

Calculating the Recurrence Relation T(n)=T(n / [(log n)^2]) + Θ(1)

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