如何计算河内塔的最大分支因子
How to calculate the maximum branching factor for the towers of hanoi
我正在用 n 个圆盘和 k 个钉子对河内塔问题进行建模，我正在尝试找到它的最大分支因子。问题在于，由于圆盘和钉子的数量都是可变的，因此每个节点可能的操作数量也是可变的。我怎样才能找到一种通用的方法来评估取决于 k 和 n 的最大分支因子？
一般来说，最小的圆盘可以移动到任何其他挂钩：k-1 个选项。
第二小的圆盘（在桩子上的堆栈顶部；可能不是整体上第二小的）可以移动到任何桩子上，除了具有最小圆盘的那个：k-2 个选项。
这一直持续到钉子顶部最大的圆盘，它不能移动到任何地方（假设 n>k）。
因此，预期的分支因子为：(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+2+1 = (k-1)*k/2
唯一一次你不会得到这个是当其中一个钉子不包含磁盘时。如果 n>>k，这将很少发生。但是，这意味着如果你从随机状态搜索到目标状态，你应该考虑向后搜索，因为标准目标状态具有最低的分支因子，因为只有一个 peg 有一个圆盘。
n < k 的情况可以进行类似的分析，只是您在 n 个盘子后停止并减去我们第一次计算的移动的附加项，现在不可用：
k(k-1)/2 - (k-n)(k-n-1)/2
我正在用 n 个圆盘和 k 个钉子对河内塔问题进行建模，我正在尝试找到它的最大分支因子。问题在于，由于圆盘和钉子的数量都是可变的，因此每个节点可能的操作数量也是可变的。我怎样才能找到一种通用的方法来评估取决于 k 和 n 的最大分支因子？
一般来说，最小的圆盘可以移动到任何其他挂钩：k-1 个选项。
第二小的圆盘（在桩子上的堆栈顶部；可能不是整体上第二小的）可以移动到任何桩子上，除了具有最小圆盘的那个：k-2 个选项。
这一直持续到钉子顶部最大的圆盘，它不能移动到任何地方（假设 n>k）。
因此，预期的分支因子为：(k-1)+(k-2)+(k-3)+...+2+1 = (k-1)*k/2
唯一一次你不会得到这个是当其中一个钉子不包含磁盘时。如果 n>>k，这将很少发生。但是，这意味着如果你从随机状态搜索到目标状态，你应该考虑向后搜索，因为标准目标状态具有最低的分支因子，因为只有一个 peg 有一个圆盘。
n < k 的情况可以进行类似的分析，只是您在 n 个盘子后停止并减去我们第一次计算的移动的附加项，现在不可用：
k(k-1)/2 - (k-n)(k-n-1)/2