两个向量集被正交矩阵对齐的必要条件是什么？

Question

假设有两个向量集$A$和$B \in \mathbb{R}^{f \times 3}$

如果有一个正交矩阵 $R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 可以完美对齐两个向量集，例如$RA = B$

A和B满足的必要条件是什么？

我知道正交矩阵可以用正交procrustes算法求解，但那只是给出了解。我想知道 A 和 B 的条件，使它们与 $R$ 完全对齐。

谢谢。

Answer 1

充分必要条件是

A'*A = B'*B

很遗憾，我找不到这方面的参考资料。不过，这里是一个证明的概要。我们对行数进行归纳处理。

如果这是 1 那么 A 和 B 都是列向量，条件为

A[i]*A[j] = B[i]*B[j] for all i,j

当 i=j 时，这意味着 |A[i]| = |B[我]|所以有 s[i] （每个 +-1）

B[i] = s[i]*A[i]

如果 A[i] 和 A[j] 都不为零（那么 B[i] 和 B[j] 也不为零）我们看到

s[i]*s[j] = 1, so s[i] = s[j]

由于当A[i]（因此B[i]）为零时我们可以任意选择s[i]，因此我们可以选择所有的s[i]相同使得B = s *A，按要求

如果行数大于1，写

A = (a A1) 
B = (b B1)

（其中 a 是 A 的第一列等）

备注

A'*A = ( a'*a   a'*A1)
       ( A1'*a  A1'*A1)

B 也是如此。如果 a 为零，b 也为零，并且

U*a = U*b for any U.

因此我们可以假设 a != 0（因此 b != 0）。如果 l 是 a（和 b）的长度，我们可以找到正交的 U 和 V，这样

U*a = l*e1
V*b = l*e1

(其中 e1 是 (1,0,..0)') 让

U*A = (l*e1 A2)
V*B = (l*e1 B2)

在这些方面我们有

A'*A = (U*A)'*(U*A) = (l*l      l*e1'*A2)
                      (l*A2'*e1 A2'*A2  )

B 也类似。请注意，e1'*A2 是 A2 的第一行，因此我们的条件意味着 A2 和 B2 的第一行相同。如果我们写

A2 = ( x )
     ( A3)

（和 B2 类似）然后

A2'*A2 = x'*x + A3'*A3 = x'*x + B3'*B3

所以，通过归纳，存在一个正交 Q

B3 = Q*A3

但这意味着

B2 = (1 0 ) * A2
     (0 Q )

并且，解开定义，有一个正交的 W

B = W*A

What is the necessary condition for two vector set be aligned by an orthogonal matrix?