采样二维表面：沿 X 和 Y 轴有多少采样点？
sampling 2-dimensional surface: how many sample points along X & Y axes?
我有一套前25张Zernike polynomials。下面在笛卡尔坐标系中显示的很少。
z2 = 2*x
z3 = 2*y
z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1)
:
:
z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2)
我没有使用 1st，因为它是活塞；所以我有这 24 个二维分析函数，用 X-Y 笛卡尔坐标系表示。所有都在单位圆上定义，因为它们在单位圆上正交。我在这里描述的问题与 Zernike 多项式之外的其他 2D 曲面也相关。
设XY坐标系原点(0,0)与单位圆圆心相同
接下来，我采用这 24 个多项式的线性组合来构建二维波前形状。我在这个组合中使用了24个随机输入系数。
w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i (i=2,3,4,....24)
a_i = random coefficients
z_i = zernike polynomials
至此，一切都是可以在纸上完成的分析部分。
离散化来了！
我知道当你想重建一个信号（1Dim/2Dim）时，你的采样频率应该至少是信号中存在的最大频率的两倍（奈奎斯特-香农原理）。
这里的signal就是上面提到的w(x,y)，就是一个简单的2Dim
x & y 的函数。我现在想在计算机上表示它。显然我不能沿 x 轴取所有从 -1 到 +1 的无限点，y 轴也是如此。
我必须接受有限号。此分析 2Dim 表面 w(x,y)
上的数据点（称为样本点或仅样本）的数量
我以米为单位测量 x 和 y，并且 -1 <= x <= +1； -1 <= y <= +1.
例如如果我将 x 轴从 -1 划分为 1，在 50 个样本点中，则 dx = 2/50= 0.04 米。 y 轴也一样。现在我的采样频率是 1/dx，即每米 25 个样本。 y 轴也一样。
但是我随便取了50个样本；我本可以采集 10 个样本或 1000 个样本。这就是问题的关键：有多少个样本点？我将如何确定这个数字？
上面提到的一个定理（Nyquist-Shanon theorem）说，如果我想忠实地重新构造w(x,y)，我必须在两个轴上对它进行采样，这样我的采样频率（即不. 每米的样本数）至少是 w(x,y) 中存在的最大频率的两倍。这只不过是找到 w(x,y) 的功率谱。思路是任何在space域的函数也可以在空频域表示，无非就是对函数进行傅里叶变换！这告诉我们函数 w(x,y) 中存在多少（空间）频率，以及这些频率中的最大频率是多少。
现在我的问题首先是在我的例子中如何找出这个最大采样频率。我不能使用 MATLAB fft2() 或任何其他工具，因为这意味着我已经在波前采集了样本！！显然剩下的选择是通过分析找到它！但这既费时又困难，因为我有 24 个多项式，然后我将不得不使用连续傅里叶变换，即我将不得不去拿笔和纸。
我们将不胜感激。
谢谢
主要假设
- 您想使用"Nyquist-Shanon"定理来确定采样频率
Obviously remaining option is find it analytically ! But that is time
consuming and difficult since I have 21 polynomials & I have to use
continuous Fourier transform i.e. done by analytically.
鉴于我所做的假设 （并注意其他数学技术的考虑是 out of scope for Whosebug），您别无选择，只能计算连续傅里叶变换。
但是，我相信除了费力的纸上练习，您还没有考虑计算变换的所有选项，例如
- 连续F.T的数值逼近。使用代码
- 符号积分，例如Wolfram Alpha
傅立叶变换的数值近似值肯定足以满足您的解决方案吗？
我假设这是为了课程作业或研究，所以作为物理学家，您真正关心的是 最快 的解决方案，即 在你的问题范围内准确.
总而言之，恕我直言，不要浪费时间寻找数学上更优雅的解决方案或技巧，只需使用上述方法之一解决问题
我有一套前25张Zernike polynomials。下面在笛卡尔坐标系中显示的很少。
z2 = 2*x
z3 = 2*y
z4 = sqrt(3)*(2*x^2+2*y^2-1)
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z24 = sqrt(14)*(15*(x^2+y^2)^2-20*(x^2+y^2)+6)*(x^2-y^2)
我没有使用 1st，因为它是活塞；所以我有这 24 个二维分析函数，用 X-Y 笛卡尔坐标系表示。所有都在单位圆上定义，因为它们在单位圆上正交。我在这里描述的问题与 Zernike 多项式之外的其他 2D 曲面也相关。
设XY坐标系原点(0,0)与单位圆圆心相同
接下来，我采用这 24 个多项式的线性组合来构建二维波前形状。我在这个组合中使用了24个随机输入系数。
w(x,y) = sum_over_i a_i*z_i (i=2,3,4,....24)
a_i = random coefficients
z_i = zernike polynomials
至此，一切都是可以在纸上完成的分析部分。
离散化来了！
我知道当你想重建一个信号（1Dim/2Dim）时，你的采样频率应该至少是信号中存在的最大频率的两倍（奈奎斯特-香农原理）。
这里的signal就是上面提到的w(x,y)，就是一个简单的2Dim x & y 的函数。我现在想在计算机上表示它。显然我不能沿 x 轴取所有从 -1 到 +1 的无限点，y 轴也是如此。 我必须接受有限号。此分析 2Dim 表面 w(x,y)
上的数据点（称为样本点或仅样本）的数量我以米为单位测量 x 和 y，并且 -1 <= x <= +1； -1 <= y <= +1.
例如如果我将 x 轴从 -1 划分为 1，在 50 个样本点中，则 dx = 2/50= 0.04 米。 y 轴也一样。现在我的采样频率是 1/dx，即每米 25 个样本。 y 轴也一样。
但是我随便取了50个样本；我本可以采集 10 个样本或 1000 个样本。这就是问题的关键：有多少个样本点？我将如何确定这个数字？
上面提到的一个定理（Nyquist-Shanon theorem）说，如果我想忠实地重新构造w(x,y)，我必须在两个轴上对它进行采样，这样我的采样频率（即不. 每米的样本数）至少是 w(x,y) 中存在的最大频率的两倍。这只不过是找到 w(x,y) 的功率谱。思路是任何在space域的函数也可以在空频域表示，无非就是对函数进行傅里叶变换！这告诉我们函数 w(x,y) 中存在多少（空间）频率，以及这些频率中的最大频率是多少。
现在我的问题首先是在我的例子中如何找出这个最大采样频率。我不能使用 MATLAB fft2() 或任何其他工具，因为这意味着我已经在波前采集了样本！！显然剩下的选择是通过分析找到它！但这既费时又困难，因为我有 24 个多项式，然后我将不得不使用连续傅里叶变换，即我将不得不去拿笔和纸。
我们将不胜感激。
谢谢
主要假设
- 您想使用"Nyquist-Shanon"定理来确定采样频率
Obviously remaining option is find it analytically ! But that is time consuming and difficult since I have 21 polynomials & I have to use continuous Fourier transform i.e. done by analytically.
鉴于我所做的假设 （并注意其他数学技术的考虑是 out of scope for Whosebug），您别无选择，只能计算连续傅里叶变换。
但是，我相信除了费力的纸上练习，您还没有考虑计算变换的所有选项，例如
- 连续F.T的数值逼近。使用代码
- 符号积分，例如Wolfram Alpha
傅立叶变换的数值近似值肯定足以满足您的解决方案吗？
我假设这是为了课程作业或研究，所以作为物理学家，您真正关心的是 最快 的解决方案，即 在你的问题范围内准确.
总而言之，恕我直言，不要浪费时间寻找数学上更优雅的解决方案或技巧，只需使用上述方法之一解决问题