浮点运算：推导摆动
Floating Point Arithmetic: Deriving Wobble
我正在阅读 David Goldberg 的每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识。我没有正式的数值分析背景，很难理解这篇论文。在 相对误差和 Ulps 一节中，他继续推导出用接近的 FP 数逼近实数时的相对误差上限。所以对应.5 ULPs，当一个实数被一个FP数逼近时d.ddd...d x β e，绝对误差为((β/2)β-p) x βe。他说 d.ddd...d x βe 形式的数字的值范围为 βe 到 β x βe。我不明白这个范围是怎么来的。要找到相对误差，我需要除以我近似的实际实数。他为什么要除以 FP 数可以取的值？我错过了什么？
此外，我正在努力理解 wobble 的意义。几段之后，他通过取实数 x 然后用 FP 数对其进行近似来证明这种关系。然后找到 ULP 和相关的错误。然后将实数乘以 8（以及 FP 近似值）。在 ULP 中测量时的误差增加，但相对误差保持不变。
不知何故，我无法对这种关系形成直觉。有什么用处？
So corresponding to .5 ULPs, when a real number is approximated by a FP number d.ddd...d x βe, the absolute error is ((β/2)β-p) x βe.
不完全是，它说当一个实数被最接近的浮点数逼近时，绝对误差可以大到 ((β/2)β-p) x βe,不是说是该值。
He says that numbers of the form d.ddd...d x βe have values that range from βe to β x βe. I don't understand how this range comes from.
那是因为第一个数字d总是从1到β−1的某个数字。如果第一个数字是 0，我们将把指数 e 调低一个以提高更多数字。如果小数点之前有两个或更多数字，我们会调整 e 向上推数字。例如，我们不会将 12345 表示为 .012345•106 或 12.345•103；我们使用 1.2345•104。 Goldberg 格式中的有效数总是至少为 1 且小于 β。由于尾数S满足1≤S<β，所表示的（正）数满足1•βe ≤ S < β•βe。
Further, I am struggling to understand the significance of wobble.
考虑10000（含）到100000（不含）之间的所有实数。对于以 10 为基数的五位浮点数，它们的 ULP 均为 1。当我们将 10,000.7 转换为这种格式时，最接近的数字为 10,001，因此绝对误差为 .3，ULP 误差为 .3，并且相对误差为 .3 / 10,000.7 ≈ 2.9998•10−5。当我们将 99,000.7 转换成这种格式时，最接近的数字是 99,001，所以绝对误差是 .3，ULP 误差是 .3，相对误差是 .3 /99,000.7 ≈ 3.03•10−6。所以 ULP 误差是一样的，但相对误差要小近十倍。相反，大约 3•10−5 的相对误差是 .3 ULP 略高于 10,000，但 3 ULP 略低于 100,000。
当我们将 100,007 转换为这种格式时，最接近的可表示数是 100,010，因此绝对误差为 3，ULP 误差为 .3，相对误差又回到 2.9998•10− 5。这就是戈德堡所说的相对于 ULP 误差的相对误差摆动的意思。在一个固定的指数区间内，ULP 是一个固定的数量。在较大的指数范围内，ULP 误差近似于相对误差；它以与相对误差相同的 平均值 变化，但它在跳跃中变化，而相对误差是连续的。
我正在阅读 David Goldberg 的每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识。我没有正式的数值分析背景，很难理解这篇论文。在 相对误差和 Ulps 一节中，他继续推导出用接近的 FP 数逼近实数时的相对误差上限。所以对应.5 ULPs，当一个实数被一个FP数逼近时d.ddd...d x β e，绝对误差为((β/2)β-p) x βe。他说 d.ddd...d x βe 形式的数字的值范围为 βe 到 β x βe。我不明白这个范围是怎么来的。要找到相对误差，我需要除以我近似的实际实数。他为什么要除以 FP 数可以取的值？我错过了什么？
此外，我正在努力理解 wobble 的意义。几段之后，他通过取实数 x 然后用 FP 数对其进行近似来证明这种关系。然后找到 ULP 和相关的错误。然后将实数乘以 8（以及 FP 近似值）。在 ULP 中测量时的误差增加，但相对误差保持不变。
不知何故，我无法对这种关系形成直觉。有什么用处？
So corresponding to .5 ULPs, when a real number is approximated by a FP number d.ddd...d x βe, the absolute error is ((β/2)β-p) x βe.
不完全是，它说当一个实数被最接近的浮点数逼近时，绝对误差可以大到 ((β/2)β-p) x βe,不是说是该值。
He says that numbers of the form d.ddd...d x βe have values that range from βe to β x βe. I don't understand how this range comes from.
那是因为第一个数字d总是从1到β−1的某个数字。如果第一个数字是 0，我们将把指数 e 调低一个以提高更多数字。如果小数点之前有两个或更多数字，我们会调整 e 向上推数字。例如，我们不会将 12345 表示为 .012345•106 或 12.345•103；我们使用 1.2345•104。 Goldberg 格式中的有效数总是至少为 1 且小于 β。由于尾数S满足1≤S<β，所表示的（正）数满足1•βe ≤ S < β•βe。
Further, I am struggling to understand the significance of wobble.
考虑10000（含）到100000（不含）之间的所有实数。对于以 10 为基数的五位浮点数，它们的 ULP 均为 1。当我们将 10,000.7 转换为这种格式时，最接近的数字为 10,001，因此绝对误差为 .3，ULP 误差为 .3，并且相对误差为 .3 / 10,000.7 ≈ 2.9998•10−5。当我们将 99,000.7 转换成这种格式时，最接近的数字是 99,001，所以绝对误差是 .3，ULP 误差是 .3，相对误差是 .3 /99,000.7 ≈ 3.03•10−6。所以 ULP 误差是一样的，但相对误差要小近十倍。相反，大约 3•10−5 的相对误差是 .3 ULP 略高于 10,000，但 3 ULP 略低于 100,000。
当我们将 100,007 转换为这种格式时，最接近的可表示数是 100,010，因此绝对误差为 3，ULP 误差为 .3，相对误差又回到 2.9998•10− 5。这就是戈德堡所说的相对于 ULP 误差的相对误差摆动的意思。在一个固定的指数区间内，ULP 是一个固定的数量。在较大的指数范围内，ULP 误差近似于相对误差；它以与相对误差相同的 平均值 变化，但它在跳跃中变化，而相对误差是连续的。