计算混合实复数矩阵向量乘积的最快方法是什么？

Question

我面临着尽快计算矩阵-向量乘积的问题，其中矩阵是严格实数而向量是复数。更准确地说，实矩阵是（反）对称的，并且具有非零密集块的稀疏结构。

到目前为止，我的策略是将向量拆分为实部和虚部，并为每个密集块计算实部和虚部的矩阵向量积。由于矩阵是（反）对称的，我打算同时计算一个块及其转置的乘积，所以我可以重新使用矩阵所在的缓存行。所以对于每个块，我计算 4 个矩阵- 块的矢量乘积及其每个实部和虚部的转置。

我为单个块计算这 4 个产品的代码最终如下所示：

#define no_alias __restrict__

template <typename VecType, typename MatType>
void trans_mul( const VecType* const no_alias re_in,
                VecType* const no_alias re_out, 
                const VecType* const no_alias im_in,
                VecType* const no_alias im_out, 
                const VecType* const no_alias re_tin,
                VecType* const no_alias re_tout,
                const VecType* const no_alias im_tin,
                VecType* const no_alias im_tout,
                const MatType* no_alias mat, // the matrix block
                const int rows, 
                const int cols)
{
    for(int j = 0; j < cols; ++j) {
        for(int i = 0; i < rows; ++i) {
            const auto m = *mat++;        // this is mat[i, j]
            re_tout[j]  += m * re_tin[i]; // transposed
            im_tout[j]  += m * im_tin[i]; // transposed
            re_out[i]   -= m * re_in[j];
            im_out[i]   -= m * im_in[j];
        }
    }
}

典型的矩阵大小为 10^2 阶。我使用带有 -Ofast -march=native 的 GCC 9.2.1 编译我的代码。从assembly output，我可以看到编译器正在自动矢量化并使用 SIMD 指令。

我正在与用 Fortran 编写的类似代码竞争，它仍然运行快大约 25%。当然，我的代码非常幼稚，但我仍然想不出比这更快的方法，因为积极的优化似乎非常有效。我还尝试使用四个 cblas_dgemv 调用，但这比我天真的方法要慢得多。还有什么我可以做的吗？或者有什么有用的 BLAS 例程可以适合我的情况吗？

Answer 1

对于相当大的矩阵（例如 >=1k），您可以使用寄存器阻塞来提高性能（与算术运算相比减少了内存数量 load/store）。对于小矩阵，很难做到比原代码更好的了。

这是带有寄存器阻塞的结果代码：

#define no_alias __restrict__
#define mini(a, b) (((a)<(b)) ? (a) : (b))

template <typename VecType, typename MatType>
void trans_mul_v2( const VecType* const no_alias re_in,
                VecType* const no_alias re_out, 
                const VecType* const no_alias im_in,
                VecType* const no_alias im_out, 
                const VecType* const no_alias re_tin,
                VecType* const no_alias re_tout,
                const VecType* const no_alias im_tin,
                VecType* const no_alias im_tout,
                const MatType* no_alias mat, // the matrix block
                const int rows, 
                const int cols)
{
    // Block size (tuned for Clang/GCC on Intel Skylake processors)
    const int si = 16;
    const int sj = 8;

    for(int bj = 0; bj < cols; bj+=sj) {
        for(int bi = 0; bi < rows; bi+=si) {
            if(bi+si <= rows && bj+sj <= cols)
            {
                // The underlying loops are expected to be unrolled by the compiler
                for(int j = bj; j < bj+sj; ++j) {
                    for(int i = bi; i < bi+si; ++i) {
                        const auto m = mat[j*rows+i]; // Assume a column major ordering
                        re_tout[j]  += m * re_tin[i];
                        im_tout[j]  += m * im_tin[i];
                        re_out[i]   -= m * re_in[j];
                        im_out[i]   -= m * im_in[j];
                    }
                }
            }
            else
            {
                // General case (borders)
                for(int j = bj; j < mini(bj+sj,cols); ++j) {
                    for(int i = bi; i < mini(bi+si,rows); ++i) {
                        const auto m = mat[j*rows+i];
                        re_tout[j]  += m * re_tin[i];
                        im_tout[j]  += m * im_tin[i];
                        re_out[i]   -= m * re_in[j];
                        im_out[i]   -= m * im_in[j];
                    }
                }
            }
        }
    }
}

请注意，si 和 sj 的值对执行时间有很大影响。最佳值取决于编译器和底层架构。您可能应该为目标机器调整它（如果您想要性能可移植性，请将它们保持较小，尽管性能可能不是最佳的）。

结果如下（GCC 9 使用双精度类型）：

With a row=100 and cols=100:
trans_mul_v1: 2.438 us
trans_mul_v2: 2.842 us

With a row=1k and cols=1k:
trans_mul_v1: 452 us
trans_mul_v2: 296 us

With a row=10k and cols=10k:
trans_mul_v1: 71.2 ms
trans_mul_v2: 35.9 ms

计算混合实复数矩阵向量乘积的最快方法是什么？

What is the fastest way to compute mixed real-complex matrix-vector products?

c++

optimization

caching

vectorization

matrix-multiplication