Python 中的二次链或多分段连接

Question

我在 Whosebug 中研究了一段时间，但找不到任何多分段曲线拟合的示例。我想将二次函数转换为分段函数的多重链接（我不知道它的确切名称，但我需要将每个尾部连接到下一个分段的头部，简单地 "connected"）。到目前为止，这是我的代码，使用 scipy.optimize 将二次函数转换为 2 个分段线性函数。

    import scipy.optimize as opt
    import numpy as np
    import copy

    def func_2piecewise(x, m_0, x_1, y_1, m_1):
        y = np.piecewise(x, [x <= x_1, x > x_1],
                            [lambda x:m_0*(x-x_1) + y_1, lambda x:m_1*(x-x_1) + y_1])
        return y

    xmin=0
    xmax=100
    a=0.1
    a0=1
    a00=10
    piece_number=2
    sigma=np.ones(numberOfStep)
    if piece_number==2:
        lower_bounds=[-np.inf,xmin,-np.inf,-np.inf]
        upper_bounds=[np.inf,xmax,np.inf,np.inf]

        w, _ = opt.curve_fit(func_2piecewise, x_sample, y_sample,bounds=(lower_bounds,upper_bounds),sigma=sigma)
        x_0=copy.deepcopy(xmin)
        y_0=func_2piecewise(x_0, *w).tolist()
        [m_0, x_1, y_1, m_1]=w
        result=[x_0,y_0,m_0,x_1,y_1,m_1]

问题是，我无法对三个分段实施相同的方法（我不知道如何制作 x_2 > x_1）：

    def func_gradients(x_list,y_list):
        len_x_list=len(x_list)
        if len_x_list==1:
            m_list=y_list/x_list
            return m_list
        m_list=[]
        for idx in range(len_x_list-1):
            m_list.append((y_list[idx+1]-y_list[idx])/(x_list[idx+1]-x_list[idx]))
        return m_list
    def func_3piecewise(x, m_0, x_1, y_1, x_2, y_2, m_2):
        y = np.piecewise(x, [x <= x_1, (x > x_1) & (x <= x_2), x > x_2],
                        [lambda x:m_0*(x-x_1) + y_1, lambda x:y_1+(y_2-y_1)*(x-x_1)/(x_2-x_1), lambda x:m_2*(x-x_2) + y_2])
        return y
    if piece_number==3:
        lower_bounds=[-np.inf,xmin,-np.inf,xmin,-np.inf,-np.inf]
        upper_bounds=[np.inf,xmax,np.inf,xmax,np.inf,np.inf]

        w, _ = opt.curve_fit(func_3piecewise, x_sample, y_sample,bounds=(lower_bounds,upper_bounds),sigma=sigma)
        x_0=copy.deepcopy(xmin)
        y_0=func_3piecewise(x_0, *w).tolist()
        [m_0, x_1, y_1, x_2, y_2, m_2]=w
        m_1=func_gradients(x_2-x_1,y_2-y_1)
        result=[x_0,y_0,m_0,x_1,y_1,m_1, x_2, y_2, m_2]

完整代码见pastebin

所以，问题是： 如何在 python 中为一般的 n 段建立链接（分段函数的每个尾部连接到下一段的头部，或者简单地 "connected"）分段函数？ 可以接受其他算法或求解器。

编辑：到目前为止，我添加了 2 个分段的结果。

更新：我发现我的代码（三段）因为一个小错别字而无法运行（很抱歉，请告诉我是否应该删除这个问题）。现在它开始工作了，我更新了粘贴箱。但是，如果你有一个通用的（灵活的，不需要为每个数字变体编写函数）可以生成 n 件的功能，我会很乐意接受答案。

Answer 1

您可以参数化距离 x2-x1 而不是参数化 x2。因为你可以给优化器边界，所以你可以将距离设置为大于 0。

例如，要生成具有 4 个区间的一般分段线性函数，请定义以下内容：

分隔区间和x0、x1、x2的点。 4 个区间的斜率分别为 m0、m1、m2 和 m3。 x0处的函数值为y0.

定义 d1 = x1 - x0, d2 = x2 - x1。来自这里：

x1 = x0 + d1
x2 = x0 + d1 + d2

然后，您有 8 个优化参数：x0、y0、d1、d2、m0、m1、m2 和 m3。根据您的优化问题的性质，除 x0 和 y0 之外的所有内容都是非负的。

第一个区间的方程式：

y = m0 * (x - x0) + y0

第二个区间的方程式：

y = m1 * (x - x0) + y0

现在你可以通过在其区间的最右边点应用前面的方程，以递归的方式得到其余的方程。对于x1点，函数的值为：

y1 = m1 * d1 + y0

所以第三个方程是

y =
    m2 * (x - x1) + y1 =
    m2 * (x - x0 - d1) + m1 * d1 + y0

对于 x2 点，这给出

y2 = m2 * d2 + y1

所以第四个方程是

y =
    m3 * (x - x2) + y2 =
    m3 * (x - x0 - d1 - d2) + m2 * d2 + m1 * d1 + y0

Python 中的二次链或多分段连接

Quadratic to Chaining or Connected Multiple Piecewise in Python

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