捕获避免替换函数——Lambda演算

Question

我正在尝试编写一个在 Lambda 演算中执行避免捕获替换的函数。代码编译但没有吐出正确答案。我已经编写了我希望代码执行的操作，我的理解是否正确？

例如，对于此输入我应该得到以下输出（numeral 0 是教堂数字 0）

*Main> substitute "b" (numeral 0) example    -- \a. \x. ((\y. a) x) b
\c. \a. (\a. c) a (\f. \x. x)

-- The incorrect result I actually got
\c. \c. (\f. \x. x) (x (\b. a))

注意 \y 由于替换 (\y.a)[N/b] 而重命名为 \a错了。）

import Data.Char
import Data.List

type Var = String

data Term =
    Variable Var
  | Lambda   Var  Term
  | Apply    Term Term
  --  deriving Show

instance Show Term where
  show = pretty

example :: Term        -- \a. \x. ((\y. a) x) b
example = Lambda "a"
            (Lambda "x" (Apply (Apply (Lambda "y" (Variable "a")) 
                                      (Variable "x")) 
                               (Variable "b")))

pretty :: Term -> String
pretty = f 0
    where
      f i (Variable x) = x
      f i (Lambda x m) = if i /= 0 then "(" ++ s ++ ")" else s 
                         where s = "\" ++ x ++ ". " ++ f 0 m 
      f i (Apply  n m) = if i == 2 then "(" ++ s ++ ")" else s 
                         where s = f 1 n ++ " " ++ f 2 m

substitute :: Var -> Term -> Term -> Term

substitute x n (Variable y)  
    --if y = x, then leave n alone   
    | y == x    = n
    -- otherwise change to y  
    | otherwise = Variable y

substitute x n (Lambda y m)
    --(\y.M)[N/x] = \y.M if y = x 
    | y == x    = Lambda y m
    --otherwise \z.(M[z/y][N/x]), where `z` is a fresh variable name 
    --generated by the `fresh` function, `z` must not be used in M or N, 
    --and `z` cannot be equal `x`. The `used` function checks if a 
    --variable name has been used in `Lambda y m`   
    | otherwise = Lambda newZ newM
                  where newZ = fresh(used(Lambda y m))
                        newM = substitute x n m          

substitute x n (Apply  m2 m1) = Apply newM2 newM1
    where newM1 = substitute x n m2
          newM2 = substitute x n m1

used :: Term -> [Var]
used (Variable n) = [n]
used (Lambda n t) = merge [n] (used t)
used (Apply t1 t2) = merge (used t1) (used t2)

variables :: [Var]
variables =  [l:[] | l <- ['a'..'z']] ++ 
             [l:show x | x <- [1..], l <- ['a'..'z']]

filterFreshVariables :: [Var] -> [Var] -> [Var]
filterFreshVariables lst = filter ( `notElem` lst)

fresh :: [Var] -> Var
fresh lst = head (filterFreshVariables lst variables)

recursiveNumeral :: Int -> Term
recursiveNumeral i
  | i == 0 = Variable "x"
  | i > 0 = Apply(Variable "f")(recursiveNumeral(i-1))

numeral :: Int -> Term
numeral i = Lambda "f" (Lambda "x" (recursiveNumeral i))

merge :: Ord a => [a] -> [a] -> [a]
merge (x : xs) (y : ys)
  | x < y = x : merge xs (y : ys)
  | otherwise = y : merge (x : xs) ys
merge xs [] = xs
merge [] ys = ys

Answer 1

substitute x n (Lambda y m)中的这部分不正确：

评论说“z 不得在 M 或 N 中使用”，但没有什么可以阻止的。 newZ 可能是 n 中的变量，这会导致捕获有问题
替换z/y还没有完成

    | otherwise = Lambda newZ newM
                  where newZ = fresh(used(Lambda y m))
                        newM = substitute x n m

修复：

"z 不得用于 M 或 N":

newZ = fresh(used m `merge` used n)

"M[z/y][N/x]":

newM = substitute x n (substitute y (Variable newZ) m)

放在一起：

    | otherwise = Lambda newZ newM
    where
      newZ = fresh(used m `merge` used n)
      newM = substitute x n (substitute y (Variable newZ) m)

请注意，按照上述方式刷新所有绑定会使理解结果和调试替换变得困难。其实y只有在y在n的时候才需要刷新。否则你可以保留y，添加这个子句：

    | y `notElem` used n = Lambda y (substitute x n m)

另一个想法是修改 fresh 以选择一个与旧名称相似的名称，例如，通过附加数字直到一个不冲突。

还有一个bug我漏掉了：newZ也不应该等于x（原来被替换的变量）。

-- substitute [a -> \f. \x. x] in (\g. g), should be (\g. g)
ghci> substitute "a" (numeral 0) (Lambda "g" (Variable "g"))
\a. \g. \x. x

解决这个问题的两种方法：

将 x 添加到变量集以排除 newZ 来自：

newZ = fresh ([x] `merge` used m `merge` used n)

如果你仔细想想，这个bug只有在x不在m时才会出现，在这种情况下没有什么可以替代的，所以另一种方法是再添加一个分支跳过工作：
```
| x `notElem` used m = Lambda y m
```

放在一起：

substitute x n (Lambda y m)
    --(\y.M)[N/x] = \y.M if y = x 
    | y == x    = Lambda y m
    | x `notElem` used m = Lambda y m
    | y `notElem` used n = Lambda y (substitute x n m)
    | otherwise = Lambda newZ newM
                  where newZ = fresh(used m `merge` used n)
                        newM = substitute x n (substitute y (Variable newZ) m)

输出

ghci> example
\a. \x. (\y. a) x b
ghci> numeral 0
\f. \x. x
ghci> substitute "b" (numeral 0) example
\a. \c. (\y. a) c (\f. \x. x)

注意：我没有尝试证明此代码正确（reader 的练习：定义 "correct"），可能仍然存在我遗漏的错误。肯定有一些关于 lambda 演算的课程，其中包含所有细节和陷阱，但我懒得看。

捕获避免替换函数——Lambda演算

Capture-avoiding substitution function -- Lambda calculus

haskell

lambda-calculus

substitution