用 python 求解耦合偏微分方程

Question

我不明白如何使用 python 或 python ode 求解器求解耦合 PDE 方程中的 eta 和 V。（或者是否可以在没有求解器的情况下对这些方程式进行数值求解？）我在这上面花了几天时间，但我仍然不知道如何开始！任何提示都会有所帮助。我理解

中给出的示例

但我仍然需要更多提示来弄清楚如何将这些原则应用于下面的耦合 PDE。

我想绘制 eta 和 V 的时间序列，给定 tau 的不同时间序列的强制输入。

x是space中的一个点，t是一个时间点。 h 和 f 是根据它们的 x 值分配的。
V = V(x,t) eta = eta(x,t) tau = tau(x,t) h = h(x), f = f(x) 而 g 和 rho 是常数。边界值为 V(0,0) = 0、eta(0,0)=0 和 tau(0,0) = 0。假设稳态条件，解 (V) 等于 tau_sy 和 tau_by。

Answer 1

好的，这是一个比较简单的数字方案，它显示了系统的概念属性。它类似于（明确的）欧拉方法。它可以很容易地推广到类似的隐式类欧拉方法。

你得到：

函数 h(x)、f(x)、tau_sx(x, t)、tau_sy(x, t) 和 tau_by(x, t)

常数g和rho

您正在寻找：

满足上述一对微分方程的函数V(x, t)和eta(x, t)。

为了能够找到这个问题的解决方案，您需要得到：

V(x, 0) = V0(x) 和 eta(0, t) = eta0(t)

假设您的域是 [0, L] X [0, T]，其中 x 在 [0, L] 中，t 在 [0, T] 中。将域离散化如下：选择 M 和 N 个正整数并令 dx = L / M 和 dt = T / N。然后只考虑有限的点集 x = m dx 和 t = n dt 对于任何整数 m = 0, 1, ..., M 和 n = 0, 1, ..., N。

我将把所有函数限制在上面定义的有限点集上，并对任意函数使用以下符号 funct:

funct(x, t) = funct[m, n] 和 funct(x) = funct[m] 任何 x = m dx 和 t = n dt.

那么，微分方程组可以离散化为

g*(h[m] + eta[m,n])*(eta[m+1, n] - eta[m,n])/dx = f[m]*(h[m] + eta[m,n])*V[m,n] + tau_sx[m,n]/rho

(V[m, n+1] - V[m,n])/dt = (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

求解 eta[m+1,n] 和 V[m,n+1]

eta[m+1,n] = eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

V[m,n+1] = V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

为简单起见，我将上面等式的右边缩写为

eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])

V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

也就是类似

def F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n]):
    return eta[m,n] + f[m]*V[m,n]*dx/g + tau_sx[m,n]*dx/(g*rho*(h[m] + eta[m,n]))

def F_V(m, n,  eta[m,n], V[m,n]):
    return V[m,n] + (tau_sy[m,n] - tau_by[m,n])*dt/(rho*(h[m] + eta[m,n]))

从边界条件，我们知道

eta[0,n] = eta0[n] = eta0(n*dt) 和

V[m,0] = V0[m] = V0(m*dx)

作为输入，用于 m = 0,..., M 和 n = 0,..., N。

for n in range(N):
    for m in range(M):
        eta[m+1,n] = F_eta(m, n, eta[m,n], V[m,n])
        V[m,n+1] = F_V(m, n, eta[m,n], V[m,n])

（您必须调整这些循环以到达最右边和上边界点，但原理保持不变）

基本上，您遵循以下模式：沿水平 x 轴生成 etas，同时向上生成一个 V 层。然后你向上移动到下一个水平面。

o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o
|          |          |          |          | 
V          V          V          V          V
|          |          |          |          |
o --eta--> o --eta--> o --eta--> o --eta--> o

用 python 求解耦合偏微分方程

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