了解描述逻辑 (DL) 中概念的普遍限制

Question

我试图从一阶逻辑 (FOL) 的角度理解以下 段落 DL tutorial。

段落

To represent the set of individuals all of whose children are female, we use the universal restriction

∀parentOf.Female (16)

It is a common error to forget that (16) also includes those individuals that have no children at all.

我认为 (16) 的意思是“如果一个人有 children，那么这些 children 都是女性 ”。我对 (16) 的 FOL 表示是：

∀x∀y(parentOf(x,y) → Female(y)) (1)

我对这种翻译的理由是，隐式变量 x 表示由角色 parentOf 定义的一组个体。我假设 x 是普遍量化的。变量 y 表示女性 children，我认为在 DL 术语中它被称为 x 的继承者，它在 DL 中被明确地普遍量化。

我在 FOL 中对“完全没有 children 的个人”的 FOL 表示是：

∀x∀y ¬(parentOf(x,y)) (2)

我对 段落 的解释是，如果 (2) 成立，则 (1) 成立。这是因为在这种情况下 (1) 的先行词是假的。

我对段落的解释正确吗？

我的翻译正确吗？

Answer 1

关于你的公式 (1)

如果你说

∀x∀y(parentOf(x,y) → Female(y))

或者，等价地

∀y((∃x parentOf(x,y)) → Female(y))

你的意思是每个x只能有女性children。但是为了在 DL 中说明这一点，您需要包含概念，即：

⊤ ⊑ ∀parentOf.Female

意思是“作用范围parentOf包含在概念Female中”。

概念和角色包含是内涵的断言，即指定 DL 构造的一般属性的公理。

相反，DL 的限制是不是 断言，而是类似于概念的构造。因此，它们不用于声明对 ontology 的每个人都有效的属性。就像，当你说 C⊓D 时，你并不是说你 ontology 的所有个体都是 C 和 D 的实例，而是你只是简单地“收集”同时是 C 和 D 实例的个体。

因此，公式 ∀parentOf.Female 只是想“捕获”所有 x 这样，如果 x 是 y 的 parent，那么y 是 Female。更正式地说，它的语义如下：

{x|∀y (parentOf(x,y) → Female(y))}

关于你的公式 (2)

类似地，“完全没有children的个体”的语义也是一组个体：

{x|∀y ¬parentOf(x,y)}

或等效

{x|¬∃y parentOf(x,y)}

的确，你是在收集所有没有children的个体，并不是说所有的个体都没有children。

结论

你说得对：“如果 (2) 成立则 (1) 成立”。关键是 (2) 和 (1)（不一定）都成立。

既然你在处理集合，你不应该根据逻辑推理推理，而是集合包含.

因此，段落的正确解释不是

if ∀x∀y ¬(parentOf(x,y)) then ∀x∀y(parentOf(x,y) → Female(y))

但是

{x|∀y ¬parentOf(x,y)} is a subset of {x|∀y (parentOf(x,y) → Female(y))}