numpy 中余弦的真反函数？（不是 arccos）

Question

这是一个奇怪的：

我发现自己需要一个 numpy 函数，我称之为 np.cos 的真反函数（或另一个三角函数，这里使用余弦来确定）。我所说的“'true inverse'”是一个函数invcos，这样

np.cos(invcos(x)) = x

对于任何实数浮点数 x。两个观察结果：invcos(x) 存在（它是一个复杂的浮点数）并且 np.arccos(x) 确实 而不是 完成这项工作，因为它只适用于 -1 < x < 1.

我的问题是这个操作是否有一个有效的 numpy 函数，或者它是否可以从现有的函数轻松构建？

我的尝试是结合使用 np.arccos 和 np.arccosh 来手动构建函数。这是基于 np.arccos 可以处理 [-1,1] 内的 x 并且 np.arccosh 可以处理 [-1,1] 外的 x 如果一个乘以复数单位的观察。看看这是否有效：

cos_x = np.array([0.5, 1., 1.5])

x = np.arccos(cos_x)
cos_x_reconstucted = np.cos(x)
# [0.5 1.  nan]

x2 = 1j*np.arccosh(cos_x)
cos_x_reconstructed2 = np.cos(x2)
# [nan+nanj 1.-0.j 1.5-0.j]

所以我们可以将其合并为

def invcos(array):
    x1 = np.arccos(array)
    x2 = 1j*np.arccosh(array)
    print(x1)
    print(x2)
    x = np.empty_like(x1, dtype=np.complex128)
    x[~np.isnan(x1)] = x1[~np.isnan(x1)]
    x[~np.isnan(x2)] = x2[~np.isnan(x2)]
    return x

cos_x = np.array([0.5, 1., 1.5])
x = invcos(cos_x)
cos_x_reconstructed = np.cos(x)
# [0.5-0.j 1.-0.j 1.5-0.j]

这给出了正确的结果，但自然会引发 RuntimeWarnings：

RuntimeWarning: invalid value encountered in arccos.

我想既然 numpy 甚至告诉我我的算法效率不高，那么它可能效率不高。有更好的方法吗？

对于对为什么这个奇怪的功能可能有用感兴趣的读者：动机来自物理学背景。在某些理论中，向量分量可以是 'off-shell'，这意味着分量甚至可能比向量更长。上面的函数对于根据角度对事物进行参数化仍然很有用。

Answer 1

My question is if there is an efficient numpy function for this operation or if it can built from existing ones easily?

是；它是... np.arccos.

来自文档：

For real-valued input data types, arccos always returns real output. For each value that cannot be expressed as a real number or infinity, it yields nan and sets the invalid floating point error flag.

For complex-valued input, arccos is a complex analytic function that has branch cuts [-inf, -1] and [1, inf] and is continuous from above on the former and from below on the latter.

所以我们需要做的就是确保输入是一个复数（即使它的虚部为零）：

>>> import numpy as np
>>> np.arccos(2.0)
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in arccos
nan
>>> np.arccos(2 + 0j)
-1.3169578969248166j

对于数组，我们需要合适的dtype:

>>> np.arccos(np.ones((3,3)) * 2)
array([[nan, nan, nan],
       [nan, nan, nan],
       [nan, nan, nan]])
>>> np.arccos(np.ones((3,3), dtype=np.complex) * 2)
array([[0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j],
       [0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j],
       [0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j, 0.-1.3169579j]])

numpy 中余弦的真反函数？（不是 arccos）

True inverse function for cosine in numpy? (NOT arccos)

python

trigonometry

numpy

numpy 中余弦的真反函数？ （不是 arccos）

True inverse function for cosine in numpy? (NOT arccos)

python

trigonometry

numpy

numpy 中余弦的真反函数？（不是 arccos）