3D 中共面点的面积 - Python

Question

我得到一组坐标(x,y,z)的3D共面点以及它们所属的平面P的方程。我想知道如何使用 Python 获得窗格中这些点所占的面积。我在 3d 中尝试过 Convhull，但出现错误，因为我所有的点确实是共面的。你有什么想法吗？

谢谢！

Answer 1

首先，我尝试通过创建一些随机的共面点并尝试拟合凸包来重现您的问题：

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull

# 4 random 3D points
points = np.random.rand(4, 3)
# A set of coplanar points where their third dimension is 1.
coplanar = np.array([np.array([x[0], x[1], 1.0]) for x in points])

hull = ConvexHull(coplanar)

这确实会产生错误：

Traceback (most recent call last):
  File "main.py", line 9, in <module>
    hull = ConvexHull(coplanar)
  File "qhull.pyx", line 2428, in scipy.spatial.qhull.ConvexHull.__init__
  File "qhull.pyx", line 357, in scipy.spatial.qhull._Qhull.__init__
scipy.spatial.qhull.QhullError: QH6154 Qhull precision error: Initial simplex is flat (facet 1 is cop
lanar with the interior point)

..... OMITTING SOME LINES ....

If the input is lower dimensional:
  - use 'QJ' to joggle the input and make it full dimensional
  - use 'Qbk:0Bk:0' to delete coordinate k from the input.  You should
    pick the coordinate with the least range.  The hull will have the
    correct topology.
  - determine the flat containing the points, rotate the points
    into a coordinate plane, and delete the other coordinates.
  - add one or more points to make the input full dimensional.

正如我们所见，底层库 (qhull) 为我们提供了一些建议，以防您的数据是低维数据。如您所说，您已经知道您的数据是共面的，并且可以将其投影到平面中并由二维点表示。

如错误消息中所建议的，投影数据的替代方法是使用选项 QJ 来调整输入 (option doc)。如果我理解正确的话，这个“joggle”通过向你的数据引入随机噪声使你的数据“非共面”，从而允许优化继续进行。

hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 0.3100618849870332

总结：

找到平面和单位xy平面之间的角度，如果你想要一个精确的答案，旋转你的数据
如果你想要一个快速的解决方案并且高精度不是问题，请使用选项 "QJ"（我实际上不知道答案与事实相差多远）

更新

来自 Qhull FAQ:

The area is the area of the surface of the convex hull, while the volume is the total volume of the convex hull.

In 2-d, the convex hull is a polygon. Its surface is the edges of a polygon. So in 2-d, the 'area' is the length of the polygon's edges, while the 'volume' is the area of the polygon.

根据这些陈述，我认为您应该使用：

hull.area / 2 用于 3D 点（您的原始点带有选项 QJ）
hull.volume 对于二维点（如果你旋转你的点并去掉一维）

为了帮助阐明 ConvexHull 的用法，我使用了一个更简单的示例

square2D = np.array([
    [0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0],
    [2.0, 2.0],
    [0.0, 2.0]
])
hull = ConvexHull(square2D)
hull.area
> 8.0
hull.volume
> 4.0

结果与文档一致。

现在，为了理解选项 QJ 的影响，我只是在前面的几点上添加了一个维度：

coplanar = np.array([
    [0.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 0.0, 0.0],
    [2.0, 2.0, 0.0],
    [0.0, 2.0, 0.0]
])
hull = ConvexHull(coplanar, qhull_options="QJ")
hull.area
> 8.000000000306578
hull.volume
> 5.719619827513867e-11

对于最后一个示例，我将凸包想象成一个近似“平坦”的 3D 对象（由于引入了噪声），它具有两个大面。这就是为什么我认为您可以在这种情况下使用 hull.area / 2。

3D 中共面点的面积 - Python

Area of coplanar points in 3D - Python

python

geometry

scipy

plane

更新