使用底层类型 Nothing 编码双重否定背后的直觉
Intuition behind encoding double negation with bottom type Nothing
像这样无形编码double negation
type ¬[T] = T => Nothing
type ¬¬[T] = ¬[¬[T]]
即
(T => Nothing) => Nothing
英里 explains
...the bottom type (Scala’s Nothing type) maps to logical falsehood... negation of a type A (I’ll write it as ¬[A]) to have as it's values everything which isn’t an instance of A
Nothing也用来表示non-termination，即不能产生值的计算
def f[T](x: T): Nothing = f(x)
把这个解释套用在(T => Nothing) => Nothing上，好像意思是：
( T => Nothing ) => Nothing
Assuming a value of type T, then the program does not terminate, hence it never produces a value.
这种直觉是正确的吗？虚假和非终止的概念是否等同？如果是这样，为什么有一个不产生值的程序，不产生值，意味着我们有一个值T？
If so, why having a program that does not produce a value, which does not produce a value, means we have a value of T?
事实并非如此。 Curry–Howard correspondence is not classical but intuitionistic. There is no law of excluded middle T ∨ ¬T （但存在排中律的双重否定）产生的逻辑。
¬¬T 不等同于 T。
T => ¬¬T 但不是 ¬¬T => T.
Are concepts of falsehood and non-termination equivalent?
没有。通常忽略非终止。根据 Curry–Howard 对应关系，当相应类型有人居住时（即存在该类型的值（没有自由变量的术语）），声明为真，当该类型无人居住时，声明为假。
Nothing（或底式⊥）无人居住（对应false）。如果 T 是有人居住的，那么 T => Nothing 是无人居住的（否则 Nothing 是有人居住的）。如果 T => Nothing 有人居住，那么 T 就没有人居住（同样，否则 Nothing 会有人居住）。这就是定义 ¬T = T => Nothing.
的原因
当考虑非终止时，这意味着每个类型 T 被提升为类型 T' 由 T 和底值 ⊥ 的元素组成（divergence，不要与底部类型混淆）。
像这样无形编码double negation
type ¬[T] = T => Nothing
type ¬¬[T] = ¬[¬[T]]
即
(T => Nothing) => Nothing
英里 explains
...the bottom type (Scala’s
Nothingtype) maps to logical falsehood... negation of a typeA(I’ll write it as¬[A]) to have as it's values everything which isn’t an instance ofA
Nothing也用来表示non-termination，即不能产生值的计算
def f[T](x: T): Nothing = f(x)
把这个解释套用在(T => Nothing) => Nothing上，好像意思是：
( T => Nothing ) => Nothing
Assuming a value of type T, then the program does not terminate, hence it never produces a value.
这种直觉是正确的吗？虚假和非终止的概念是否等同？如果是这样，为什么有一个不产生值的程序，不产生值，意味着我们有一个值T？
If so, why having a program that does not produce a value, which does not produce a value, means we have a value of T?
事实并非如此。 Curry–Howard correspondence is not classical but intuitionistic. There is no law of excluded middle T ∨ ¬T （但存在排中律的双重否定）产生的逻辑。
¬¬T 不等同于 T。
T => ¬¬T 但不是 ¬¬T => T.
Are concepts of falsehood and non-termination equivalent?
没有。通常忽略非终止。根据 Curry–Howard 对应关系，当相应类型有人居住时（即存在该类型的值（没有自由变量的术语）），声明为真，当该类型无人居住时，声明为假。
Nothing（或底式⊥）无人居住（对应false）。如果 T 是有人居住的，那么 T => Nothing 是无人居住的（否则 Nothing 是有人居住的）。如果 T => Nothing 有人居住，那么 T 就没有人居住（同样，否则 Nothing 会有人居住）。这就是定义 ¬T = T => Nothing.
当考虑非终止时，这意味着每个类型 T 被提升为类型 T' 由 T 和底值 ⊥ 的元素组成（divergence，不要与底部类型混淆）。