这个 Modulo a Set 的公式是什么？

Question

Cubical Agda 库defined a Modulo type like this:

data Modulo (k : ℕ) : Type₀ where
  embed : (n : ℕ) → Modulo k
  pre-step : NonZero k → (n : ℕ) → embed n ≡ embed (k + n)

这是一套吗？

挥手，我可以看到任何路径都是refls和pre-steps的组合，形式为embed n ≡ embed (m * k + n)；和 由于 _+_ 是关联的，而 0 +_ ≡ id，因此 refl 和 pre-step 的结构如何组合并不重要；但如何将其正式化？

Answer 1

根据@András Kovács 的评论，结果 Modulo n 确实是一个 h 集，而 there is a proof in the standard library，我只是错过了它:)

证明基本上是这样的：

• Modulo 0 同构于 ℕ 因为 NonZero 0 是空的（所以我们只有 embed 值）。
• Modulo (suc k) 与 Fin (suc k) 同构，基本上是通过应用足够的 pre-steps 直到我们得到 embed n 和 n < k。 This is a long-winded technical proof taking up its own module.

当然 ℕ 和 Fin (suc k) 都是离散的，因此 h 集本身。