如何使用 python 从复杂的非线性系统中获取所有根（复根和实根）？

Question

我正在尝试求解一个复杂的非线性系统。问题是有很多根，有的是复根。从这些根中，我只需要 select 实部在 [0,1] 之间且没有复数部分的那个（例如：0.23+0i）。例如：

root1: 1.02 + 2i

root2: 0.23 + 1.23i

root3: 0.23 + 0i

...

这是我的系统： tau1 和 tau2 是我需要找到的变量。方程式是 t1 和 t2，它们依赖于 tau1 和 tau2

x0=0 # initial position
xf=30 # final position
x1= 10;
x2 = 20;
tf=20 # final time

tau_wp=[]
def f(tau_wp):
    tau1, tau2 = tau_wp
    a=(1-tau1)**5*(-10*tau2**3 +15*tau2**4 -6*tau2**5) + (1-tau1)**4*(20*tau2**3 -35*tau2**4 + 15*tau2**5) + (1-tau1)**3*(-10*tau2**3 +20*tau2**4 -10*tau2**5) + (tau2-tau1)**5
    b=(1-tau2)**5*(-10*tau1**3 +15*tau1**4 -6*tau1**5) + (1-tau2)**4*(20*tau1**3 -35*tau1**4 + 15*tau1**5) + (1-tau2)**3*(-10*tau1**3 +20*tau1**4 -10*tau1**5)

    den=a*b -36*tau2**5*(1-tau2)**5*tau1**5*(1-tau1)**5

    p2=(-6*tau1**5*(1-tau1)**5*(xf-x0)*(10*tau2**3-15*tau2**4+6*tau2**5) \
                                         -(xf-x0)*(10*tau1**3-15*tau1**4+6*tau1**5)*a \
                                         + (x1-x0)*a + (x2-x0)*(6*tau1**5*(1-tau1**5)))

    p1=(a*b -36*tau2**5*(1-tau2)**5*tau1**5*(1-tau1)**5)*(-(xf-x0)*(10*tau1**3-15*tau1**4+6*tau1**5) +(x1-x0)) \
                        + b*( (xf-x0)*(10*tau2**3 -15*tau2**4 +6*tau2**5)*(6*tau1**5*(1-tau1)**5) \
                        + (xf-x0)*(10*tau1**3 -15*tau1**4 +6*tau1**5)*a \
                        - (x1-x0)*a - (x2-x0)*(6*tau1**5*(1-tau1)**5))


    u0=(xf-x0)*(30*tau1**2-60*tau1**3 +30*tau1**4)+p1*tf**5/120*(60*tau1**9-270*tau1**8+480*tau1**7-420*tau1**6+180*tau1**5-30*tau1**4) \
           + p2*tf**5/120 * ((1-tau2)**5*(-30*tau1**2 +60*tau1**3 -30*tau1**4) + (1-tau2)**4*(60*tau1**2 - 140*tau1**3 +75*tau1**4) + \
            (1-tau2)**3*(-30*tau1**2 +80*tau1**3 - 50*tau1**4))

    u1=(xf-x0)*(30*tau2**2 - 60*tau2**3 + 30*tau2**4)+p1*tf**5/120*((1-tau1)**5*(-30*tau2**2 +60*tau1**3 -30*tau1**4) + \
        (1-tau1)**4*(60*tau2**2 - 140*tau2**3 +75*tau2**4) + (1-tau1)**3*(-30*tau2**2 +80*tau2**3 - 50*tau2**4) \
        + 5*tau2**4 -20*tau2**3*tau1 +30*tau2**2*tau1**2 -20*tau2*tau1**3 +5*tau1**4) \
        + p2*tf**5/120*(60*tau2**9-270*tau2**8+480*tau2**7-420*tau2**6+180*tau2**5-30*tau2**4)

    ## system of nonlinear equations dependent on tau1 and tau2
    t1=u0*p1 ### equation 1
    t2=u1*p2 ### equation 2

    return [t1,t2]

我尝试使用 fsolve，但是使用 fsolve 我无法得到复杂的部分。

在 python 中有什么方法可以做到这一点吗？

非常感谢您的帮助！

Answer 1

这有点令人困惑，因为你说你 "couldn't get the complex part" 但在问题中你说你正在寻找虚部为 0 且实部的大小介于 0 和 1 之间的解决方案。如果这是正确的，那么 nsolve 如果你给出足够好的初始猜测就可以求解这对方程：

>>> from sympy import symbols
>>> v = symbols('tau1:3')
>>> nsolve(f(v), (tau1, tau2), (.5,.4))
Matrix([
[0.495387590772031],
[ 0.49736468918969]])

通过查看 tau1 和 tau2 的不同值的 t1 和 t2 的值，您可以大致了解在哪里寻找根。因为它们都应该为零，所以我查看了平方和的对数——越小越好：

>>> Matrix(10,10,lambda i,j:
log(sqrt(sum([k.subs(tau1,i/10).subs(tau2,j/10)**2 for k in (t1,t2)]))).round())
Matrix([
[zoo, zoo, zoo, zoo, zoo, zoo, zoo, zoo, zoo, zoo],
[-17,  -5,  -6,  -3,  -2,  -2,  -3,  -4,  -5,  -7],
[ -7,  -2,  -1,   0,   0,   0,   0,   0,  -1,  -2],
[ -1,   0,   3,   4,   3,   3,   4,   4,   3,   1],
[  3,   4,   6,   7,   6,   4,   7,   7,   6,   4],
[  5,   6,   8,   9,   9,   5,   9,   9,   8,   6],
[  8,   8,  10,  11,  11,   6,  11,  11,  10,   8],
[  9,   9,  11,  12,  12,   7,  12,  12,  11,   9],
[  9,  10,  12,  13,  13,   7,  13,  13,  12,  10],
[  8,  11,  13,  13,  13,   7,  13,  13,  12,  10]])

（当 tau1 为零时，动物园值对应于平凡的解决方案。

如何使用 python 从复杂的非线性系统中获取所有根（复根和实根）？

How to get all roots (complex and real) from a complex non-linear system using python?

python

sympy

equation

nonlinear-equation