在 agda 的可决策性框架内工作

Question

我在使用字符串可判定性时遇到问题。首先，我很困惑为什么在 Agda 中处理可决定性如此困难，而在 Coq 中它看起来像黄油一样光滑。当我试图证明这个关于字符串的简单定理时，Agda 展开了这个定义的混乱，除非你确切地知道你正在尝试做什么，否则几乎不可能使用它。我如何通过模式匹配来处理字符串的可判定性以保持定义的完整性？

我正在使用 Stump 的 keep 函数而不是 Agda 的 inspect。

keep : ∀{ℓ}{A : Set ℓ} → (x : A) → Σ A (λ y → x ≡ y)
keep x = ( x , refl )

--first roadblock
eqbStringrefl' : forall (b : String) →  true ≡ (b == b)
eqbStringrefl' b with keep (b ≟ b)
eqbStringrefl' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd = {!!}
eqbStringrefl' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = {!!}

这是 Agda 的输出：

-- Goal: true ≡
--       Relation.Nullary.Decidable.Core.isYes
--       (Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--        (λ x →
--           Agda.Builtin.String.Properties.primStringToListInjective b b
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.Pointwise-≡⇒≡
--            (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--             (λ {z} {z = z₁} →
--                Agda.Builtin.Char.Properties.primCharToNatInjective z z₁)
--             x)))
--        (λ x →
--           Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--           (cong Agda.Builtin.Char.primCharToNat)
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.≡⇒Pointwise-≡
--            (cong Data.String.toList x)))
--        (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.decidable
--         (λ x y →
--            Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--            (Data.Nat.Properties.≡ᵇ⇒≡ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--            (Data.Nat.Properties.≡⇒≡ᵇ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--            (Data.Bool.Properties.T?
--             (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x Data.Nat.≡ᵇ
--              Agda.Builtin.Char.primCharToNat y)))
--         (Data.String.toList b) (Data.String.toList b)))
-- ————————————————————————————————————————————————————————————
-- snd : Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--       (λ x →
--          Agda.Builtin.String.Properties.primStringToListInjective b b
--          (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.Pointwise-≡⇒≡
--           (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--            (λ {z} {z = z₁} →
--               Agda.Builtin.Char.Properties.primCharToNatInjective z z₁)
--            x)))
--       (λ x →
--          Data.List.Relation.Binary.Pointwise.map
--          (cong Agda.Builtin.Char.primCharToNat)
--          (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.≡⇒Pointwise-≡
--           (cong Data.String.toList x)))
--       (Data.List.Relation.Binary.Pointwise.decidable
--        (λ x y →
--           Relation.Nullary.Decidable.Core.map′
--           (Data.Nat.Properties.≡ᵇ⇒≡ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--           (Data.Nat.Properties.≡⇒≡ᵇ (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x)
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat y))
--           (Data.Bool.Properties.T?
--            (Agda.Builtin.Char.primCharToNat x Data.Nat.≡ᵇ
--             Agda.Builtin.Char.primCharToNat y)))
--        (Data.String.toList b) (Data.String.toList b))
--       ≡ Relation.Nullary.yes refl
-- b   : String

如果我现在应用重写，目标会得到简化，但假设列表中仍然一团糟。当我尝试 ctrl-a 时，我收到以下错误，尽管目标似乎可以推断：

Goal: true ≡ true
Not implemented: The Agda synthesizer (Agsy) does not support
copatterns yet

尽管如此，我还是能够继续进行，就好像 snd 项明显更清晰一样，然后只需应用基本规则即可得出最终证明。

eqbStringrefl'' : forall (b : String) →  true ≡ (b == b)
eqbStringrefl'' b with keep (b ≟ b)
eqbStringrefl'' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd rewrite snd = {!!}
eqbStringrefl'' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = {!!}
-- eqbStringrefl'' b | (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) , snd rewrite snd = refl
-- eqbStringrefl'' b | (.false Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofⁿ ¬p) , snd = ⊥-elim (¬p refl)

最后一行是完成的证明。任何建议都会有所帮助！

Answer 1

通过导入定义了可判定性概念的 Relation.Nullary，您将可以访问 yes and no patterns 并且 Agda 将很乐意重新加糖 (.true Relation.Nullary.because Relation.Nullary.ofʸ refl) 作为 yes refl 另一个是 no ¬p.

关于目标的类型，它来自这样一个事实，即字符串的相等性是通过字符列表上的逐点相等性获得的，而字符的相等性是通过它们作为数字的底层表示的相等性获得的。它很冗长，但这给了我们一个被 Agda 认为安全且相当有效的定义。

在 agda 的可决策性框架内工作

Working within agda's decideability framework

agda

theorem-proving

decidable