Healpy/Healpix：总像素数和总球谐系数有什么关系？

Question

根据 Healpy/Healpix 文档，我无法理解天空图中的一个像素（这是一些测量值）与 Healpy 的 healpy.sphtfunc.map2alm 函数产生的球谐系数之间的关系，它计算给定地图的 a_lm 系数数组。（这个问题也适用于anafast。）

我的理解是给定的像素应该对应一个球谐系数。然而，事实并非如此。完全没有。

与nside = 8拍一张地图。本程序使用Healpy读取一张FITS格式的CMB地图，手动设置nside值，读入地图，显示，然后计算球谐系数。

import math
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np
import healpy as hp
import pyfits as pf

filename = "cmb_map.fits"    # the name of the full-sky map 

readmap = hp.read_map(filename)   # readmap i.e. input map
nside = 8    # manually input the side value

''' 
Here outputs: 
NSIDE = 8
ORDERING = RING in fits file
'''

view = hp.mollview(readmap)  # view the map, i.e. display it
'''
Shows sky map of the CMB
'''

totalnumberpixels = hp.nside2npix(nside)
print totalnumberpixels      # For nside = 8, this should be 12*nside**2 = 768

arr = hp.map2alm(readmap)    # This is an array of a_lm values

到目前为止一切顺利。 hp.map2alm() 函数现在 returns 300 个值，即 300 个球谐系数 a_lm。

arr.shape

输出“(300,)”。

为什么 768 个像素会计算出 300 个 a_lm 值？ nside和球谐系数总数之间是否存在数学关系？每个 nside 是否给出不同数量的 a_lm 系数？

计算一个a_lm需要多少像素？非常感谢任何 help/explanation！

编辑：如下所述，像素总数为npix = 12*nside**2。 map2alm 使用默认值 lmax = 3*nside-1。所以，球谐系数的总数应该是奇数之和，最多为3*nside-1=23。球谐系数的总数应该是(2*lmax+1)**2 = (6*nside-1)**2。 (2*lmax+1)^2=(2*23+1)^2 = (47)^2 = 2209 那么，这个数字300是从哪里来的呢？ map2alm 到底在做什么？这怎么可能只是一个近似值？

我预计 2209 a_lm。我算了300。

Answer 1

像素和球谐系数之间没有直接关系。

您可以这样想象：地图像素是数据和您 "fit" 对数据的球谐函数。球谐函数是无限多（正交）函数的系统。

现在你对数据（像素）没有"fit"无限多的功能，有限制，你设置lmax或mmax或两者。（球谐函数通常是 labelled/identified 乘以两个数字 l 和 m）。

l 和 m 是整数，l 从 0 到无穷大，对于每个 l，m 从 -m 到 m。

因此，例如，如果 lmax 为 2 并且对 m 没有限制，那么您正在处理 1+3+5=9 个函数。因此，您将有 9 个 alm 系数，（="fit" 的结果），独立于地图有多少像素。

好的，到目前为止一切顺利。现在，球谐函数是复函数，系数也是。但地图是纯粹真实的。因此，当阅读球谐函数时（维基百科已经足够好了），人们会发现如何定义球谐函数的实基，基本上使用属性即 Y_l,m=(-1)^m Y *_l,-m ，其中星号表示复数 conj。

现在如果你用复数作为这个基础函数的参数，你需要多少个？对于给定的 l，您将需要 l+1 个复数（记住我们从 l=0 开始计算）。如果你对给定的 l 求和，你会得到：

l=0 --> 1
l=1 --> 1+2=3
l=2 --> 1+2+3=6
l=3 --> 1+2+3+4=10
etc.

（请注意，如果将其加起来为 3*nside-1，则 nside 8 会得到 300）

同样重要的是要注意，对于这些复系数中的恰好 l+1 个，它们的虚部将为零！（对应 Y_l0 的那些）。现在，如果您计算独立参数的数量，例如 l=3:

l=3 --> 1+2+3+4=10

所以 10 个复数 = 20 个独立参数。但是其中4个只有实部20-4=16。正是人们所期望的，因为完整的虚部 Y_lm 有 32 个独立参数，所以实部将有一半。

Answer 2

所以，如上所述，参数l_max决定了球谐系数a_{lm}的个数。对于 l 参数，a 的数量从 a_0 到 a_{lmax}。 m参数由l_{max}, l_{max}-1, l_{max}-2, ...., -l_{max}+2, -l_{max}+1, -l_{max}决定。

因此，每个 l 的 m 个值的总数由 2l+1 给出，例如l=0 给出 1 个 m，l=1 给出 3 个 m，l=2 给出 5 个 m，等等

Healpix/Healpy使用的map2alm函数接受输入参数nside，然后默认使用3*nside-1计算球谐函数。

但是，nside 还决定了每张地图的像素总数。总像素数 npix 由 npix = 12*nside**2 给出。

评论：

npix = 12 * nside ** 2

l_max = 3 * nside - 1

因此，球谐系数的总数是i=0到i= 2 * lmax + 1的和级数。使用 map2alm 的默认参数，这给了我们从 i=0 到 i = 6 * nside - 1 的总和（即 2(3*nside-1) + 1）

对于给定的地图，像素总数为12 * nside ** 2，球谐系数总数a_lm为i=0 to i= 6*nside-1.

的总和

对吗？

Healpy/Healpix：总像素数和总球谐系数有什么关系？

Healpy/Healpix: What is the relationship between the total pixels and total spherical harmonic coefficients?

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