将 RotateAxisAngle 反转回角度
Reversing RotateAxisAngle back to angles
我正在尝试弄清楚如何反转 RotateAxisAngle 以恢复围绕这些任意轴的旋转（或产生相同净旋转的等效旋转，不必完全相同）。有谁知道该怎么做？我正在使用 MathGeoLib，但我没有看到相反的方法，当你只有矩阵时 return 返回关于轴的角度。
这是正向代码（RotateAxisAngle 来自MathGeoLib）：
float4x4 matrixRotation = float4x4::RotateAxisAngle(axisX, ToRadian(rotation.x));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisY, ToRadian(rotation.y));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisZ, ToRadian(rotation.z));
现在我想回到关于这些任意轴的度数，以相同的顺序（好吧，拉开 Z，然后是 Y，然后是 X），所以如果我再做一次，向前的方向，会产生相同的净旋转。
这里是 sample/matrix 对应于我在上面发布的那组旋转，如果有帮助，请倒过来：
axisX:
x 0.80878228 float
y -0.58810818 float
z 0.00000000 float
Rot about that axis:
30.000000 float
axisY:
x 0.58811820 float
y 0.80877501 float
z 0.00000000 float
Rot about that axis:
60.000000 float
axisZ:
x 0.00000000 float
y 0.00000000 float
z 1.0000000 float
Rot about that axis:
40.000000 float
形成这个矩阵，存储到文件中，需要检索绕上述轴的旋转（没有任何关于最初使用的旋转的信息）
[4][4]
[0x0] 0.65342271 float
[0x1] -0.51652151 float
[0x2] 0.55339342 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.69324547 float
[0x1] 0.11467478 float
[0x2] -0.71151978 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.30405501 float
[0x1] 0.84856069 float
[0x2] 0.43300733 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.00000000 float
[0x1] 0.00000000 float
[0x2] 0.00000000 float
[0x3] 1.0000000 float
如果您只想要一个反转您在一步中获得的旋转的旋转，您可以反转旋转矩阵。 float4x4::InverseOrthonormal 应该可以，而且快速准确。 float4x4::Inverse 也可以，但速度较慢且准确性较低。
如果你真的想恢复角度，它是这样的。 （有许多不同的约定，即使对于 X-Y-Z；我认为这个匹配，但您可能必须对矩阵进行转置或进行一些其他修改。如果这不起作用，我可以提出替代方案。）首先我们遵循Wikipedia article 了解欧拉角到矩阵的转换。在结果矩阵中，我们有
A11 = cos theta cos psi
A21 = -cos theta sin psi
A31 = sin theta
A32 = -sin phi cos theta
A33 = cos phi cos theta
其中 phi 是绕 x 轴的旋转，theta 是绕 y 轴的旋转，psi 是绕 z 轴的旋转。为了恢复角度，我们做
phi = -arctan2(A32,A33)
theta = arcsin(A31)
psi = -arctan2(A21,A11)
角度可能与原始角度不完全匹配，但旋转应该匹配。 arctan2 是 arctan 函数的双参数形式，它考虑了参数表示的点的象限，正确处理 90 度角。
鉴于您的旋转表示方式，我认为您可能不得不改用转置。这很简单：您只需交换上述公式中的索引即可：
phi = -arctan2(A23,A33)
theta = arcsin(A13)
psi = -arctan2(A12,A11)
如果这些都不起作用，我可以仔细查看 MathGeoLib 库并弄清楚它们在做什么。
更新
我在之前的回答中忽略了有关旋转轴的信息。现在我想我有一个对付他们的计划了。
思路是"change coordinates"然后在新的坐标上做上面的操作。我对细节有点模糊，所以目前的过程有点 "alchemical"。 OP 应该尝试我的建议的各种组合，看看它们是否有效……没有太多（暂时只有 4 个……）。
想法是利用旋转轴的坐标形成一个坐标变化矩阵。我们这样做：
axisX: 0.80878228 -0.58810818 0.00000000 0.00000000
axisY: 0.58811820 0.80877501 0.00000000 0.00000000
axisZ: 0.00000000 0.00000000 1.0000000 0.00000000
and..: 0.00000000 0.00000000 0.00000000 1.0000000
我刚刚取了三个 3 向量 axisX、axisY、axisZ，在末尾用 0 填充它们，并在底部添加行 [0 0 0 1]。
我还需要那个矩阵的逆矩阵。由于坐标系是正交坐标系，因此逆是转置。可以使用库中的InverseOrthonormal函数；它所做的只是形成转置。
现在取你的神秘矩阵，将它预乘以坐标变化矩阵，然后post-将它乘以坐标变化矩阵的逆矩阵。然后使用反三角函数应用上述两个计算之一。祈祷吧，我想就是这样了......
如果这不起作用，则将神秘矩阵预乘以坐标变化矩阵的逆矩阵，然后post-乘以坐标变化矩阵。然后应用其中一组三角公式。
有效吗？
好的，我要再试一次。我的第一个答案是 XYZ 旋转顺序。这个答案是针对 ZYX 订单的，现在我对 MathGeoLib 的工作原理有了更多的了解。
MathGeoLib 将位置向量表示为列向量 v = [x y z 1]^T，其中 ^T 是将行翻转为列（反之亦然）的转置运算符。旋转矩阵预乘列向量。因此，如果我们有一个矩阵 Rx(s) 表示绕 x 轴旋转 s 度，然后旋转 Ry(t) 表示绕 y 轴旋转 t 度，然后旋转 Rz(u)表示绕 z 轴旋转 u 度，我们将它们组合并乘以 v 为 Rx(s) Ry(t) Rz(u) v，我们实际上首先应用 z 旋转。但我们仍然可以从组合矩阵中计算出角度，只是公式将与更常见的 XYZ 顺序不同。
我们有旋转矩阵的左上角块，如下所示。 （第四行和第四列除对角线元素为 1 外均为 0；在随后的计算中它永远不会改变，因此我们可以安全地忽略。）MathGeoLib 似乎使用左手坐标，因此旋转矩阵为：
[1 0 0] [ cos t 0 sin t] [ cos u -sin u 0]
Rx(s) = [0 cos s -sin s], Ry(t) = [ 0 1 0], Rz(u) = [ sin u cos u 0]
[0 sin s cos s] [-sin t 0 cos t] [ 0 0 1]
（注意 - 符号在 Ry(t) 中的位置；它在那里是因为我们认为坐标是循环顺序的。Rx(s) 旋转 y 和 z；Ry(t) 旋转 z 和x; Rz(u) 旋转 x 和 y。由于 Ry(t) 不是按字母顺序而是按循环顺序旋转 z 和 x，因此旋转方向与您期望的字母顺序相反。
现在我们以正确的顺序将矩阵相乘。 Rx(s) Ry(t) 是
[1 0 0][ cos t 0 sin t] [ cos t 0 sin t]
[0 cos s -sin s][ 0 1 0] = [ sin s*sin t cos s -sin s*cos t]
[0 sin s cos s][-sin t 0 cos t] [-cos s*sin t sin s cos s*cos t]
与Rz(u)的乘积是
[ cos t 0 sin t][ cos u -sin u 0]
[ sin s*sin t cos s -sin s*cos t][ sin u cos u 0] =
[-cos s*sin t sin s cos s*cos t][ 0 0 1]
[ cos t*cos u -cos t*sin u sin t]
[ sin s*sin t*cos u+cos s*sin u -sin s*sin t*sin u+cos s*cos u -sin s*cos t]
[-cos s*sin t*cos u+sin s*sin u cos s*sin t*sin u+sin s*cos u cos s*cos t]
所以我们可以算出角度如下：
tan s = -(-sin s * cos t)/(cos s * cos t) = M23/M33 => s = -arctan2(M23,M33)
sin t = M13 => t = arcsin(M13)
tan u = -(-cos t * sin u)/(cos t * cos u) = M12/M11 => u = -arctan2(M12,M11)
如果我们要实现这些计算，我们需要了解矩阵在 MathGeoLib 中的索引方式。索引是行主要的，就像数学符号一样，但索引从 0（计算机风格）而不是 1（数学风格）开始，所以你想要的 C++ 公式是
s = -atan2(M[1][2],M[2][2]);
t = asin(M[0][2]);
u = -atan2(M[0][1],M[0][0]);
角度以弧度为单位返回，因此如果需要，需要将其转换为度数。当旋转轴 Z、Y 和 X 处于标准位置 (001)、(010) 和 (100) 时，您应该测试该结果。
如果我们要反转非标准轴的旋转，如您的示例，问题将变得更加困难。但是，我认为可以通过 "change of coordinates" 来完成。所以如果我们的旋转神秘矩阵是matrixRotation，我相信你可以直接形成"conjugate"矩阵
M = coordinateChangeMatrix*matrixRotation*coordinateChangeMatrix^{-1}
然后使用上面的公式。这里 coordinateChangeMatrix 将是矩阵
[Xaxis0 Xaxis1 Xaxis2 0]
[Yaxis0 Yaxis1 Yaxis2 0]
[Zaxis0 Zaxis1 Zaxis2 0]
[ 0 0 0 1]
其中旋转 X 轴为 (Xaxis0,Xaxis1,Xaxis2)。在您的示例中，这些数字将是 (0.808...,-0.588...,0)。你应该确保旋转矩阵是标准正交的，即 Xaxis 与自身的点积为 1，Xaxis 与另一个轴的点积为 0，其他任何轴都相同。如果坐标变化矩阵不是正交的，计算可能仍然有效，但我不确定。
可以使用 float4x4::inverseOrthonormal 计算坐标变化矩阵的逆矩阵，或者如果它不是正交矩阵，则可以使用 float4x4::inverse，但正如我提到的，我不知道它的效果如何。
我正在尝试弄清楚如何反转 RotateAxisAngle 以恢复围绕这些任意轴的旋转（或产生相同净旋转的等效旋转，不必完全相同）。有谁知道该怎么做？我正在使用 MathGeoLib，但我没有看到相反的方法，当你只有矩阵时 return 返回关于轴的角度。
这是正向代码（RotateAxisAngle 来自MathGeoLib）：
float4x4 matrixRotation = float4x4::RotateAxisAngle(axisX, ToRadian(rotation.x));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisY, ToRadian(rotation.y));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisZ, ToRadian(rotation.z));
现在我想回到关于这些任意轴的度数，以相同的顺序（好吧，拉开 Z，然后是 Y，然后是 X），所以如果我再做一次，向前的方向，会产生相同的净旋转。
这里是 sample/matrix 对应于我在上面发布的那组旋转，如果有帮助，请倒过来：
axisX:
x 0.80878228 float
y -0.58810818 float
z 0.00000000 float
Rot about that axis:
30.000000 float
axisY:
x 0.58811820 float
y 0.80877501 float
z 0.00000000 float
Rot about that axis:
60.000000 float
axisZ:
x 0.00000000 float
y 0.00000000 float
z 1.0000000 float
Rot about that axis:
40.000000 float
形成这个矩阵，存储到文件中，需要检索绕上述轴的旋转（没有任何关于最初使用的旋转的信息）
[4][4]
[0x0] 0.65342271 float
[0x1] -0.51652151 float
[0x2] 0.55339342 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.69324547 float
[0x1] 0.11467478 float
[0x2] -0.71151978 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.30405501 float
[0x1] 0.84856069 float
[0x2] 0.43300733 float
[0x3] 0.00000000 float
[0x0] 0.00000000 float
[0x1] 0.00000000 float
[0x2] 0.00000000 float
[0x3] 1.0000000 float
如果您只想要一个反转您在一步中获得的旋转的旋转，您可以反转旋转矩阵。 float4x4::InverseOrthonormal 应该可以，而且快速准确。 float4x4::Inverse 也可以，但速度较慢且准确性较低。
如果你真的想恢复角度，它是这样的。 （有许多不同的约定，即使对于 X-Y-Z；我认为这个匹配，但您可能必须对矩阵进行转置或进行一些其他修改。如果这不起作用，我可以提出替代方案。）首先我们遵循Wikipedia article 了解欧拉角到矩阵的转换。在结果矩阵中，我们有
A11 = cos theta cos psi
A21 = -cos theta sin psi
A31 = sin theta
A32 = -sin phi cos theta
A33 = cos phi cos theta
其中 phi 是绕 x 轴的旋转，theta 是绕 y 轴的旋转，psi 是绕 z 轴的旋转。为了恢复角度，我们做
phi = -arctan2(A32,A33)
theta = arcsin(A31)
psi = -arctan2(A21,A11)
角度可能与原始角度不完全匹配，但旋转应该匹配。 arctan2 是 arctan 函数的双参数形式，它考虑了参数表示的点的象限，正确处理 90 度角。
鉴于您的旋转表示方式，我认为您可能不得不改用转置。这很简单：您只需交换上述公式中的索引即可：
phi = -arctan2(A23,A33)
theta = arcsin(A13)
psi = -arctan2(A12,A11)
如果这些都不起作用，我可以仔细查看 MathGeoLib 库并弄清楚它们在做什么。
更新
我在之前的回答中忽略了有关旋转轴的信息。现在我想我有一个对付他们的计划了。
思路是"change coordinates"然后在新的坐标上做上面的操作。我对细节有点模糊，所以目前的过程有点 "alchemical"。 OP 应该尝试我的建议的各种组合，看看它们是否有效……没有太多（暂时只有 4 个……）。
想法是利用旋转轴的坐标形成一个坐标变化矩阵。我们这样做：
axisX: 0.80878228 -0.58810818 0.00000000 0.00000000
axisY: 0.58811820 0.80877501 0.00000000 0.00000000
axisZ: 0.00000000 0.00000000 1.0000000 0.00000000
and..: 0.00000000 0.00000000 0.00000000 1.0000000
我刚刚取了三个 3 向量 axisX、axisY、axisZ，在末尾用 0 填充它们，并在底部添加行 [0 0 0 1]。
我还需要那个矩阵的逆矩阵。由于坐标系是正交坐标系，因此逆是转置。可以使用库中的InverseOrthonormal函数；它所做的只是形成转置。
现在取你的神秘矩阵，将它预乘以坐标变化矩阵，然后post-将它乘以坐标变化矩阵的逆矩阵。然后使用反三角函数应用上述两个计算之一。祈祷吧，我想就是这样了......
如果这不起作用，则将神秘矩阵预乘以坐标变化矩阵的逆矩阵，然后post-乘以坐标变化矩阵。然后应用其中一组三角公式。
有效吗？
好的，我要再试一次。我的第一个答案是 XYZ 旋转顺序。这个答案是针对 ZYX 订单的，现在我对 MathGeoLib 的工作原理有了更多的了解。
MathGeoLib 将位置向量表示为列向量 v = [x y z 1]^T，其中 ^T 是将行翻转为列（反之亦然）的转置运算符。旋转矩阵预乘列向量。因此，如果我们有一个矩阵 Rx(s) 表示绕 x 轴旋转 s 度，然后旋转 Ry(t) 表示绕 y 轴旋转 t 度，然后旋转 Rz(u)表示绕 z 轴旋转 u 度，我们将它们组合并乘以 v 为 Rx(s) Ry(t) Rz(u) v，我们实际上首先应用 z 旋转。但我们仍然可以从组合矩阵中计算出角度，只是公式将与更常见的 XYZ 顺序不同。
我们有旋转矩阵的左上角块，如下所示。 （第四行和第四列除对角线元素为 1 外均为 0；在随后的计算中它永远不会改变，因此我们可以安全地忽略。）MathGeoLib 似乎使用左手坐标，因此旋转矩阵为：
[1 0 0] [ cos t 0 sin t] [ cos u -sin u 0]
Rx(s) = [0 cos s -sin s], Ry(t) = [ 0 1 0], Rz(u) = [ sin u cos u 0]
[0 sin s cos s] [-sin t 0 cos t] [ 0 0 1]
（注意 - 符号在 Ry(t) 中的位置；它在那里是因为我们认为坐标是循环顺序的。Rx(s) 旋转 y 和 z；Ry(t) 旋转 z 和x; Rz(u) 旋转 x 和 y。由于 Ry(t) 不是按字母顺序而是按循环顺序旋转 z 和 x，因此旋转方向与您期望的字母顺序相反。
现在我们以正确的顺序将矩阵相乘。 Rx(s) Ry(t) 是
[1 0 0][ cos t 0 sin t] [ cos t 0 sin t]
[0 cos s -sin s][ 0 1 0] = [ sin s*sin t cos s -sin s*cos t]
[0 sin s cos s][-sin t 0 cos t] [-cos s*sin t sin s cos s*cos t]
与Rz(u)的乘积是
[ cos t 0 sin t][ cos u -sin u 0]
[ sin s*sin t cos s -sin s*cos t][ sin u cos u 0] =
[-cos s*sin t sin s cos s*cos t][ 0 0 1]
[ cos t*cos u -cos t*sin u sin t]
[ sin s*sin t*cos u+cos s*sin u -sin s*sin t*sin u+cos s*cos u -sin s*cos t]
[-cos s*sin t*cos u+sin s*sin u cos s*sin t*sin u+sin s*cos u cos s*cos t]
所以我们可以算出角度如下：
tan s = -(-sin s * cos t)/(cos s * cos t) = M23/M33 => s = -arctan2(M23,M33)
sin t = M13 => t = arcsin(M13)
tan u = -(-cos t * sin u)/(cos t * cos u) = M12/M11 => u = -arctan2(M12,M11)
如果我们要实现这些计算，我们需要了解矩阵在 MathGeoLib 中的索引方式。索引是行主要的，就像数学符号一样，但索引从 0（计算机风格）而不是 1（数学风格）开始，所以你想要的 C++ 公式是
s = -atan2(M[1][2],M[2][2]);
t = asin(M[0][2]);
u = -atan2(M[0][1],M[0][0]);
角度以弧度为单位返回，因此如果需要，需要将其转换为度数。当旋转轴 Z、Y 和 X 处于标准位置 (001)、(010) 和 (100) 时，您应该测试该结果。
如果我们要反转非标准轴的旋转，如您的示例，问题将变得更加困难。但是，我认为可以通过 "change of coordinates" 来完成。所以如果我们的旋转神秘矩阵是matrixRotation，我相信你可以直接形成"conjugate"矩阵
M = coordinateChangeMatrix*matrixRotation*coordinateChangeMatrix^{-1}
然后使用上面的公式。这里 coordinateChangeMatrix 将是矩阵
[Xaxis0 Xaxis1 Xaxis2 0]
[Yaxis0 Yaxis1 Yaxis2 0]
[Zaxis0 Zaxis1 Zaxis2 0]
[ 0 0 0 1]
其中旋转 X 轴为 (Xaxis0,Xaxis1,Xaxis2)。在您的示例中，这些数字将是 (0.808...,-0.588...,0)。你应该确保旋转矩阵是标准正交的，即 Xaxis 与自身的点积为 1，Xaxis 与另一个轴的点积为 0，其他任何轴都相同。如果坐标变化矩阵不是正交的，计算可能仍然有效，但我不确定。
可以使用 float4x4::inverseOrthonormal 计算坐标变化矩阵的逆矩阵，或者如果它不是正交矩阵，则可以使用 float4x4::inverse，但正如我提到的，我不知道它的效果如何。