AP GP clrs 系列总和附录 A.1-4

Question

我正在尝试证明 CLRS 练习册中给出的方程式。等式是：

Sigma k=0 to k=infinity (k-1)/2^k = 0

我解决了 LHS 但我的答案是 1 而 RHS 应该是 0 以下是我的解决方案：

Let's say S = k/2^k = 1/2 + 2/2^2 + 3/2^3 + 4/2^4 ....
2S = 1 + 2/2 + 3/2^2 + 4/2^3 ...

2S - S = 1 + ( 2/2 - 1/2) + (3/2^2 - 2/2^2) + (4/2^3 -     3/2^3)..
S = 1+ 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4..
S = 2       -- eq 1

Now let's say S1 = (k-1)/2^k = 0/2 + 1/2^2 + 2/2^3 + 3/2^4...

S - S1 = 1/2 + (2/2^2 - 1/2^2) + (3/2^3 - 2/2^3) + (4/2^4 - 3/2^4)....
S - S1 = 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4...
           = 1
From eq 1
2 - S1 = 1
S1 = 1

而所需的 RHS 为 0。我的解决方案有什么问题吗？谢谢..

Answer 1

是的，你在解决问题的过程中遇到了问题。

虽然公式 S 值的一切都是正确的，但您计算的 S1 值不正确。您错过了替换 S1 中 k=0 的值。而对于S，即使加上k的值，第一项还是0，所以没有影响。

因此，

S1 =  (k-1)/2^k = -1 + 0/2 + 1/2^2 + 2/2^3 + 3/2^4... 
// you missed -1 here because you started substituting values from k=1
S - S1 = -(-1) + 1/2 + (2/2^2 - 1/2^2) + (3/2^3 - 2/2^3) + (4/2^4 - 3/2^4)....
S - S1 = 1 + (1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4...)
       = 1 + 1
       = 2.

From eq 1
2 - S1 = 2
S1 = 0.

AP GP clrs 系列总和附录 A.1-4

sum of series AP GP clrs appendix A.1-4

algorithm

math

infinite

clrs

gp