渐近界和大 Θ 符号
Asymptotic bounds and Big Θ notation
假设f(n)=4^n，g(n)=n^n，f(n)=Θ(g(n))是否正确
我认为这是正确的说法，但我不是 100% 确定。
这是不正确的。 f(n) = Theta(g(n)) 当且仅当 f(n) = O(g(n)) 和 g(n) = O(f(n))。 f(n) = O(g(n)) 是真的。我们将证明 g(n) = O(f(n)).
并非如此
假设 g(n) = O(f(n))。然后存在一个正实常数 c 和一个正自然数 n0，使得对于所有 n > n0，g(n) <= c * f(n)。对于我们的函数，这意味着 n^n <= c * 4^n。如果我们取这个不等式两边的 n 次根，我们得到 n <= 4c^(1/n)。我们可以自由假设 c >= 1 和 n0 >=，因为如果我们发现一个较小的值有效，则较大的值也可以。对于所有 c > 1 和 n > 1，4c^(1/n) 严格小于 4c。但如果我们选择 n > 4c，则不等式为假。因此，不可能存在 n0 使得对于所有 n 至少 n0 条件成立。这是一个矛盾；我们最初的假设被推翻了。
假设f(n)=4^n，g(n)=n^n，f(n)=Θ(g(n))是否正确
我认为这是正确的说法，但我不是 100% 确定。
这是不正确的。 f(n) = Theta(g(n)) 当且仅当 f(n) = O(g(n)) 和 g(n) = O(f(n))。 f(n) = O(g(n)) 是真的。我们将证明 g(n) = O(f(n)).
并非如此假设 g(n) = O(f(n))。然后存在一个正实常数 c 和一个正自然数 n0，使得对于所有 n > n0，g(n) <= c * f(n)。对于我们的函数，这意味着 n^n <= c * 4^n。如果我们取这个不等式两边的 n 次根，我们得到 n <= 4c^(1/n)。我们可以自由假设 c >= 1 和 n0 >=，因为如果我们发现一个较小的值有效，则较大的值也可以。对于所有 c > 1 和 n > 1，4c^(1/n) 严格小于 4c。但如果我们选择 n > 4c，则不等式为假。因此，不可能存在 n0 使得对于所有 n 至少 n0 条件成立。这是一个矛盾；我们最初的假设被推翻了。