c++ 中的 int（或 long long）溢出如何影响模数？

Question

假设我有两个long long，a和b，我需要相乘，然后得到一些大k的值mod k，这样a，b和k都在范围内long long 但不是 int。为简单起见，a, b < k.

因此代码将是：

long long a, b, k;
cin >> a >> b >> k;
cout << (a * b)%k << "\n";

但是a和b太大了，如果像上面那样相乘，溢出变成负数，那么modk就是负数，不正确。

如何确保 mod k 的值是正确的？

编辑：作为奖励，这在 Java 中如何运作？是不是和预想的一样？还是需要 BigInteger？

Answer 1

如果您知道值小于 ULONGLONG_MAX/2（因此加法不会溢出），您可以一次乘以一位：

unsigned long long mulmod(unsigned long long a, unsigned long unsigned long b, long long m) {
    unsigned long long rv = 0;
    a %= m;
    b %= m;
    while (b) {
        if (b&1) { rv += a; if (rv >= m) rv -= m; }
        a += a; if (a >= m) a -= m;
        b >>= 1; }
    return rv; }

如果您知道自己在 gcc/x86_64 上运行，您可以尝试：

unsigned long mulmod(unsigned long a, unsigned long b, unsigned long m) {
    unsigned long rv;
    asm ("mulq %2; divq %3" : "=d"(rv), "+a"(a): "S"(b), "c"(m));
    return rv;
}

这将工作到 ULONG_MAX

如果您的数字大于此值，则需要使用多精度库，例如 GMP

Answer 2

许多编译器提供 128 位整数类型。例如，使用 g++ 你可以创建一个函数

static inline int64_t mulmod(int64_t x, int64_t y, int64_t m)
{
    return ( (__int128_t)x * y) % m;
}

旁白：如果可以的话，在进行模运算时尽量坚持使用无符号整数类型。整数除法的舍入行为使得在涉及有符号值时使用 % 非常尴尬。

c++ 中的 int（或 long long）溢出如何影响模数？

How does int(or long long) overflow in c++ affect modulus?

c++

long-integer

modulus

integer-overflow