在 LU 分解中除以零警告 - 杜立特尔算法工作

Question

我已经按照以下 link 实现了矩阵 LU 分解的标准 equations/algorithm：(1) and (2) returns 如下方矩阵的 LU 分解非常完美。然而，我的问题是 - 它也给出了 Divide by Zero warning.

代码在这里：

import numpy as np

def LUDecomposition (A):
    L = np.zeros(np.shape(A),np.float64)
    U = np.zeros(np.shape(A),np.float64)
    acc = 0
    L[0,0]=1
    for i in np.arange(len(A)):

        for k in range(i,len(A)):

            for j in range(0,i):
                acc += L[i,j]*U[j,k]
            U[i,k] = A[i,k]-acc


            for m in range(k+1,len(A)):
                if m==k:
                    L[m,k]=1
                else:

                    L[m,k] = (A[m,k]-acc)/U[k,k]
            acc=0
    return (L,U)

A = np.array([[-4, -1, -2],
              [-4, 12,  3],
              [-4, -2, 18]])

L, U = LUDecomposition (A)

我哪里错了？

Answer 1

您似乎在第一个内部级别 for 循环中犯了一些缩进错误：U 必须在 L 之前求值；您也没有正确计算求和项 acc 并且没有正确地将 L 的对角线项设置为 1。在进行一些其他语法修改之后，您可以按如下方式重写函数：

def LUDecomposition(A):

    n = A.shape[0]
    L = np.zeros((n,n), np.float64)
    U = np.zeros((n,n), np.float64)

    for i in range(n):
        # U
        for k in range(i,n):
            s1 = 0  # summation of L(i, j)*U(j, k) 
            for j in range(i):
                s1 += L[i,j]*U[j,k]
            U[i,k] = A[i,k] - s1

        # L
        for k in range(i,n):
            if i==k:
                # diagonal terms of L 
                L[i,i] = 1
            else:
                s2 = 0 # summation of L(k, j)*U(j, i) 
                for j in range(i):
                    s2 += L[k,j]*U[j,i]
                L[k,i] = (A[k,i] - s2)/U[i,i]

    return L, U

这一次给出矩阵 A 的正确输出，与作为可靠参考的 scipy.linalg.lu 相比：

import numpy as np
from scipy.linalg import lu

A = np.array([[-4, -1, -2],
              [-4, 12,  3],
              [-4, -2, 18]])

L, U = LUDecomposition(A)
P, L_sp, U_sp = lu(A, permute_l=False)

P
>>> [[1., 0., 0.],
     [0., 1., 0.],
     [0., 0., 1.]])

L
>>> [[ 1.          0.          0.        ]
     [ 1.          1.          0.        ]
     [ 1.         -0.07692308  1.        ]]

np.allclose(L_sp, L))
>>>  True

U
>>> [[-4.         -1.         -2.        ]
     [ 0.         13.          5.        ]
     [ 0.          0.         20.38461538]]

np.allclose(U_sp, U))
>>>  True

注意：与scipy lapack getrf 算法不同，此 Doolittle 实现不包括旋转，这两个比较仅在置换矩阵 P 时为真scipy.linalg.lu 返回的是单位矩阵，即 scipy 没有执行任何排列，这确实是矩阵 A 的情况。 scipy算法确定的置换矩阵是为了优化结果矩阵的条件数，以减少舍入误差。最后，您可以简单地验证 A = LU 如果分解正确，情况总是如此：

A = np.random.rand(10,10)
L, U = LUDecomposition(A)

np.allclose(A, np.dot(L, U))
>>>  True

不过，就数值效率和准确性而言，我不建议您使用自己的函数来计算 LU 分解。希望这会有所帮助。

在 LU 分解中除以零警告 - 杜立特尔算法工作

Divide by Zero Warning in LU Decomposition- Doolittle Algorithm working

python

numpy

linear-algebra