梯度下降法在线性回归中效果不佳？

Question

在 R 中，我生成了一些人工数据以使用梯度下降法执行线性回归 Y = c0 + c1 * x1 + c2 * x2 + 噪音

我也是用解析的方法计算参数theta = [c0, c1, c2]。以下是带有变量注释的 R 代码。

我用梯度下降法来计算theta。公式取自下面的link。

但是，该方法无法收敛。我的 R 代码如下。 theta与R代码中的解析解k大不相同

rm(list = ls())

n=500
x1=rnorm(n,mean=4,sd=1.6)
x2=rnorm(n,mean=4,sd=2.5)


X=cbind(x1,x2)
A=as.matrix(cbind(rep(1,n),x1,x2))
Y=-3.9+3.8*x1-2.4*x2+rnorm(n,mean=0,sd=1.5);


k=solve(t(A)%*%A,t(A)%*%Y) # k is the parameters determined by analytical method
MSE=sum((A%*%k-Y)^2)/(n);

iterations=3000 # total number of step
epsilon = 0.0001 # set precision
eta=0.0001 # step size

t1=integer(iterations)
e1=integer(iterations)

X=as.matrix(X)# convert data table X into a matrix
N=dim(X)[1] # total number of observations
X=as.matrix(cbind(rep(1,length(N)),X))# add a column of ones to represent intercept
np=dim(X)[2] # number of parameters to be determined
theta=matrix(rnorm(n=np,mean=0,sd=1),1,np) # Initialize theta:1 x np matrix
for(i in 1:iterations){
  error =theta%*%t(X)-t(Y) # error = (theta * x' -Y'). Error is a 1xN row vector;
  grad=(1/N)*error%*%X # Gradient grad is 1 x np vector
  theta=theta-eta*grad # updating theta
  L=sqrt(sum((eta*grad)^2)) # calculating the L2 norm
  e1[i]=sum((error)^2)/(2*N) # record the cost function in each step (value=2*MSE)
  t1[i]=L # record the L2 norm in each step
  if(L<=epsilon){ # checking whether convergence is obtained or not
    break
  }
}

plot(e1*2,type="l",ylab="MSE",lwd=2,col=rgb(0,0,1))
abline(h=MSE)
text(x=1000,y=MSE+1,labels = "Actual MSE",adj=1)
text(x=500,y=15,labels = "Gradient Descent",adj=0.4)
theta
k

Answer 1

我试过代码，问题是在 3000 次迭代后，L2 范数 L 仍然大于精度 epsilon。我可以通过运行获得可重现的示例数据 set.seed(5556) 第一。在 7419 次迭代后，L = 9.99938 e-5 < epsilon。但是theta还是和预期的结果不一样，对于L2范数和正常数据当然可以计算运行lm(Y ~ X1+X2)。

Answer 2

您的问题是您将 eta 设置得非常保守。因此需要很长时间才能收敛。 Eta 对收敛速度至关重要。但是，如果选择较大，算法可能不会收敛。你可能会在后面的课程中了解像 Adagrad 或 Adam 这样自动调整 eta 的算法如果您选择 eta = 0.001

eta= 0.01

eta=0.1

梯度下降法在线性回归中效果不佳？

Gradient descent method does not work well in linear regression?

r

linear-gradients

gradient-descent