使用 quadProg 库进行约束二次优化

Question

我有一个长度为 N 的向量 A。我还有 N*N 矩阵 C。我想最大化以下等式：

minimize (- (w_transpose * A) + p * w_transpose * C * w)

其中 w 是一个长度为 N 的向量，其中每个 w 都是非负的且所有 w 的总和为 1.

我看到了一个叫做 quadProg 的包裹。在那里我需要指定：

Dmat = C、dvec = A 和 bvec = w

但不确定如何在那里应用上述约束。

我想我可以提供 Amat 作为单位矩阵，这将使所有 w 保持非负。但不确定如何保持 w 标准化（总和等于零）。实际上我也可以稍后将它们归一化，但仍然想知道我是否可以在这里自己做。

Answer 1

您可以使用 quadprog 的 solve.QP 函数来完成此操作。从 ?solve.QP，我们读到 solve.QP 求解形式为 min_b {-d'b + 0.5 b'Db | A'b >= b0} 的系统。您正在解决 min_w {-A'w + pw'Cw | w >= 0, 1'w = 1} 形式的问题。因此，表格之间的映射：

d = A（在 solve.QP 的参数中称为 dvec）
D = 2pC（在 solve.QP 的参数中称为 Dmat）
对于第一组约束，您有 I'w >= 0。最终约束可以重新表述为 1'w >= 1 和 -1'w >= -1。因此，您的 A 约束矩阵（solve.QP 的参数中的 Amat）是单位矩阵，其右侧附加了一个 1 向量和一个 -1 向量，右侧 b0（[= solve.QP) 的参数中的 28=] 是附加了 1 和 -1 的 0 向量。

您可以很容易地将它们全部放在 R 中：

library(quadprog)
solve.my.QP <- function(A, p, C) {
  solve.QP(Dmat=2*p*C,
           dvec=A,
           Amat=cbind(diag(1, length(A)), rep(1, length(A)), rep(-1, length(A))),
           bvec=c(rep(0, length(A)), 1, -1))$solution
}

您可以在一些简单的二维问题上对其进行测试：

# Even penalty
solve.my.QP(c(0, 0), 1, diag(1, 2))
# [1] 0.5 0.5

# Encourage inclusion of first variable
solve.my.QP(c(0.1, 0), 1, diag(1, 2))
# [1] 0.525 0.475

使用 quadProg 库进行约束二次优化

Constrained quadratic optimization with the quadProg library

r

mathematical-optimization

quadprog

quadratic-programming