一个四阶非线性微分方程的稳定解

Question

我在 python 中使用 bvp 求解器解决了以下 bvp 问题。

d4y/dx4= 0.00033*V/(0.000001-y)^(2) , y(0)=y'(0)=y(1)=y'(1)=0 在上面的等式中，'V' 是一个使用 for 循环改变的参数。有趣的是，当 V > Vo 时，上述微分方程的解应该是不稳定的。 bvp 求解器仍然会为 V>Vo 生成一些错误值。如何让求解器在出现这种不稳定性时立即停止计算？

Answer 1

对于归一化方程（y 和 V 的比例改变）

    y''''*(1e-6-y)**2 = 3.3e-4*V
    (1e6*y)''''*(1-1e6*y)**2 = 3.3e14*V

    u = 1e6*y,   c = 3.3e14*V

    u'''' = c/(1-u)**2

我得到了c=70.099305的临界值，即V0=0.2124e-12。对于非常小的 c，解决方案同样很小并且接近 y(t)=c/24*(t*(1-t))**2。对于接近临界值的 c，网格细化集中在接近 y=0.4.

的最大值处

c=70.099305

def f(t,u): return [u[1],u[2],u[3],c/(1-u[0])**2]
def bc(u0,u1): return [u0[0], u0[1], u1[0], u1[1]]

t = np.linspace(0,1,5);
u = np.zeros([4,len(t)])
res = solve_bvp(f,bc,t,u, tol=1e-4, max_nodes=5000)
print(res.message)

%matplotlib inline
if res.success:
    plt.figure(figsize=(10,5))
    t = np.linspace(0,1,502)
    plt.plot(t, c/24*(t*(1-t))**2,c='y', lw=3)
    plt.plot(t,res.sol(t)[0],'b')
    plt.plot(res.x,res.y[0],'xr')
    plt.grid(); plt.show()

蓝色 - 数值解，黄色 - 小的近似值 c

一个四阶非线性微分方程的稳定解

Stable solution of a 4th order non linear differential equations

python

numerical-methods

ode

differential-equations

stability