如何从一组 k 个元素生成长度为 n 的所有排列？

Question

例如，我有这组 k=5 个元素 [1,2,3,4,5]，我想要长度为 n=2.

的所有排列

1,2
1,3
1,4
1,5
2,1
etc etc.

问题是我不能使用 STL、外部数学库等

我尝试的是使用堆算法生成所有元素的所有排列，然后生成所有 k 排列的前 n 个数字中包含的 n 个元素的所有排列，我可以截断并删除重复项，但是那么复杂度就太高了(n!)

我知道这个问题有一个很好的解决方案，因为我已经看到在关于排列字符串的问题中使用额外的 modules/libraries 来解决这个问题。

额外信息：我只需要用它来暴力破解不平衡分配问题，当我被允许“暴力破解”问题时，匈牙利算法似乎太长了。我的方法没有接近允许的执行时间，因为当我有一个例如大小为 8x3 的数组时，我的算法需要 8！当它肯定可以优化到更小的数字时进行比较。

Answer 1

我不知道 n 是否始终为 2，但如果是，并且您不介意性能，这里有一些“”"working"””代码：


#include <iostream>
#include <tuple>
#include <vector>

std::vector<std::tuple<int, int> >
get_tuples_from_vector (const std::vector<int> elements)
{
    std::vector<std::tuple<int, int> > tuples;
    for (int i = 0; i < elements.size(); ++i)
    {
        for (int j = i + 1; j < elements.size(); ++j)
        {
            tuples.push_back({elements[i], elements[j]});
        }
    }
    return tuples;
}

std::vector<std::tuple<int, int> >
generate_permutations (const std::vector<int>& elements)
{
    if (elements.size() == 0 || elements.size() < 2)
    {
        return {};
    }

    std::vector<std::tuple<int, int> > tuples
    { 
        get_tuples_from_vector(elements) 
    };

    std::vector<std::tuple<int, int> > permutations;

    for (const auto& tuple: tuples)
    {
        permutations.push_back(
            { std::get<0>(tuple), std::get<1>(tuple) }
        );
        permutations.push_back(
            { std::get<1>(tuple), std::get<0>(tuple) }
        );
    }

    return permutations;
}

void print_vector(std::vector<std::tuple<int, int> > elements)
{
    for (const auto& element: elements)
    {
        std::cout << "[ " 
            << std::get<0>(element) 
            << ", " << std::get<1>(element) 
            << "]\n";
    }
    std::cout << std::endl;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    print_vector(generate_permutations({1, 2, 3, 4, 5}));
}

Answer 2

实际上，第一个值有 k 种可能性。

然后，一旦您选择了第一个值，问题就是使用 n-1 和 k-1 参数生成所有排列。

这导致了一个相当简单的递归实现。可能有更快的方法。但是，它显然比您的算法快。

#include    <iostream>
#include    <algorithm>

bool Pnk (int n, int k, int *a, int iter, int offset) {

    if (n == 0) {
        return false;
    }

    bool check = true;
    int index = 0;
    std::swap (a[iter], a[iter+offset]);
    while (check) {
        if (n-1 == 0) {
            for (int i = 0; i <= iter; ++i) {
                std::cout << a[i] << " ";
            }
            std::cout << "\n";
        }
        check = Pnk (n-1, k-1, a, iter + 1, index);
        index++;
    }
    std::swap (a[iter], a[iter+offset]);
    return offset != k-1;
}

void Pnk0 (int n, int k, int *a) {
    int offset = 0;
    while (Pnk (n, k, a, 0, offset)) {
        offset++;
    }
}

int main () {
    int length = 3;
    const int size = 4;
    int a[size] = {1, 2, 3, 4};

    Pnk0 (length, size, a);
}

Answer 3

我认为您可以分两步完成，首先，从 n 个元素的集合中生成 k 个元素的组合，然后打印每个组合的排列。我测试了这段代码并且工作正常：

#include <iostream>
using namespace std;

void printArr(int a[], int n, bool newline = true) {
    for (int i=0; i<n; i++) {
        if (i > 0) cout << ",";
        cout << a[i];
    }
    if (newline) cout << endl;
}

// Generating permutation using Heap Algorithm
void heapPermutation(int a[], int n, int size) {
    // if size becomes 1 then prints the obtained permutation
    if (size == 1) {
        printArr(a, n);
        return;
    }

    for (int i=0; i<size; i++) {
        heapPermutation(a, n, size-1);
        // if size is odd, swap first and last element, otherwise swap ith and last element
        swap(a[size%2 == 1 ? 0 : i], a[size-1]);
    }
}

// Generating permutation using Heap Algorithm
void heapKPermutation(int a[], int n, int k, int size) {
    // if size becomes 1 then prints the obtained permutation
    if (size == n - k + 1) {
        printArr(a + n - k, k);
        return;
    }

    for (int i=0; i<size; i++) {
        heapKPermutation(a, n, k, size-1);
        // if size is odd, swap first and last element, otherwise swap ith and last element
        swap(a[size%2 == 1 ? 0 : i], a[size-1]);
    }
}

void doKCombination(int a[], int n, int p[], int k, int size, int start) {
    int picked[size + 1];
    for (int i = 0; i < size; ++i) picked[i] = p[i];
    if (size == k) {
        // We got a valid combination, use the heap permutation algorithm to generate all permutations out of it.
        heapPermutation(p, k, k);
    } else {
        if (start < n) {
            doKCombination(a, n, picked, k, size, start + 1);
            picked[size] = a[start];
            doKCombination(a, n, picked, k, size + 1, start + 1);
        }
    }
}

// Generate combination of k elements out of a set of n
void kCombination(int a[], int n, int k) {
    doKCombination(a, n, nullptr, k, 0, 0);
}

int main()
{
    int a[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    cout << "n=1, k=1, a=";
    printArr(a, 1);
    kCombination(a, 1, 1);

    cout << "n=2, k=1, a=";
    printArr(a, 2);
    kCombination(a, 2, 1);

    cout << "n=3, k=2, a=";
    printArr(a, 3);
    kCombination(a, 3, 2);

    cout << "n=5, k=2, a=";
    printArr(a, 5);
    kCombination(a, 5, 2);
    return 0;
}

结果是：

n=1, k=1, a=1
1
n=2, k=1, a=1,2
2
1
n=3, k=2, a=1,2,3
2,3
3,2
1,3
3,1
1,2
2,1
n=5, k=2, a=1,2,3,4,5
4,5
5,4
3,5
5,3
3,4
4,3
2,5
5,2
2,4
4,2
2,3
3,2
1,5
5,1
1,4
4,1
1,3
3,1
1,2
2,1

Answer 4

如果您不关心输出是否按字典顺序排列，这里有一个相当简单的实现。

using namespace std;

void perm(int* a, int n, int k, int i)
{
    if(i == 0)
    {
        for(int j=n; j<n+k; j++) cout << a[j] << " ";
        cout << endl;
        return;
    }

    for(int j=0; j<n; j++)
    {
        swap(a[j], a[n-1]);
        perm(a, n-1, k, i-1);
        swap(a[j], a[n-1]);
    }

}

测试（OnlineGDB）：

int n = 4, k = 2;
int a[] = {1,2,3,4};
perm(a, n, k, k);

输出：

如何从一组 k 个元素生成长度为 n 的所有排列？

How can I generate all permutations of length n from a set of k elements?

c++

algorithm

permutation

variable-assignment

heaps-algorithm