如何在 Matlab 中求解矩阵？

Question

如何求解，其中和和在最小二乘意义上 在 matlab 中？

所以我想将最小化 作为输出。

Answer 1

重写数量以最小化为

||Xa - b||^2

=（Frobenius范数的定义）

Tr{(Xa - b) (Xa - b)'}

=（展开矩阵乘积表达式）

Tr{Xaa'X' - ba'X' - Xab' + bb'}

=（迹算子的线性度）

Tr{Xaa'X'} - Tr{ba'X'} - Tr{Xab'} + Tr{bb'}

=（矩阵转置的迹 = 矩阵的迹）

Tr{Xaa'X'} - 2 Tr{ba'X'} + Tr{bb'}

其中'表示转置算子（因为涉及的所有矩阵都是实数，所以转置和共轭转置是一样的）。 现在，如果您参考 Matrix Cookbook 的第 2.5 节，您会发现

• Tr{Xaa'X'}的导数是2Xaa'（见等式111），
• Tr{ba'X'}的导数是ba'（见等式104），
• Tr{bb'}的导数是0（因为这个表达式不依赖于X）。

（对矩阵X进行微分）。

因此，最小化兴趣量的矩阵满足

2Xaa' = 2ba'
Xaa' = ba'

因此，您可以使用 MATLAB 的矩阵右除运算符 / 来计算 X:

X = b * a' / (a * a');