寻找特定的数值积分算法

Question

考虑以下微分方程
f(x) = g'(x)
我有一个构建代码，它为变量 x 输出函数 f(x) 的值，其中 x 从 0 到 very large.

现在，我正在寻找一种方案来分析 f(x) 的这些值以确定 g(x)。有人有什么建议吗？主要问题是，如果我计算 g(x) = Integral (f(x) * dx)，那么我最终只会得到一个数字（即图形下方的面积），但我需要知道 g(x) 的实际功能。

我在这里交叉发布了这个问题：https://math.stackexchange.com/questions/1326854/looking-for-a-particular-algorithm-for-numerical-integration

Answer 1

1. 数值积分总是return只是一个数字

   • 如果您不想要数字而是使用函数
   • 那么你不能使用数值积分来完成这个任务直接

2. 多项式方法

   • 您可以使用任何 approximation/interpolation 技术来获得表示 f(x)
   的多项式
   • 然后积分为标准多项式（只需改变指数和乘法常数）
   • 这不适用于超越函数、周期函数或复形函数
   • 最常见的方法是使用 L'Grange 或泰勒级数
   • 对于两者，您需要一个解析器能够 returning 任何给定 x
   的 f(x) 值

3. 代数积分

   • 这对任何f(x)都无法解决，因为我们不知道如何整合一切
   • 因此您需要编写所有集成规则
   • 喜欢单方、替换、Z 或 L'Place 变换
   • 并在 string/symbol 范式
   中编写求解器
   • 那是巨大的工作量
   • 可能有库或 dll 可以做到这一点
   • 来自 Derive 或 Matlab 等程序...

[edit1] 因为函数 f(x) 只是形式

中的 table

• double f[][2]={ x1,f(x1),x2,f(x2),...xn,f(xn) };
• 您可以在间隔 <0,x>
为 g(x)=Integral(f(x)) 创建相同的 table

• 所以：

  g(x1)=f(x1)*(x1-0)
  g(x2)=f(x1)*(x1-0)+f(x2)*(x2-x1)
  g(x3)=f(x1)*(x1-0)+f(x2)*(x2-x1)+f(x3)*(x3-x2)
  ...
  

• 这只是一个 table 所以如果你想要实际的功能，你需要通过 L'Grange 或任何其他插值将其转换为多项式...

• 你也可以使用 DFFT 和作为正弦波集的函数