需要关于证明一些直觉逻辑陈述的提示

Question

我是 Agda 的新手，一般来说我也是依赖类型编程和证明助手的新手。我决定开始使用我在 Programming Language Foundations in Agda 中找到的定义来构建简单的直觉逻辑证明，并且我取得了一些成功。然而，当我试图写出以下证明时，我感到困惑：

∨-identity-indirect : {A B : Set} → (¬ A) ∧ (A ∨ B) → B

在纸上证明这一点相当简单：展开 ¬ A，我们有 A → ⊥。所以这个语句就等价于(⊥ ∨ B) → B，这显然是正确的。

我能够成功证明后半部分，即(⊥ ∨ B) → B:

∨-identity : {A : Set} → (⊥ ∨ A) → A
∨-identity (∨-left ())
∨-identity (∨-right A) = A

然后，我能够写：

∨-identity-indirect ⟨ ¬A , A∨B ⟩ = ∨-identity ?

建议我通过 ¬A 和 A ∨ B 生成 ⊥ ∨ B。我想以某种方式将 A ∨ B 中的 A 替换为 ¬A A，但我认为没有办法这样做。当尝试将 ∨-identity 案例分析模式应用于 ∨-identity-indirect 时，我收到一条错误消息，指出 A 应该为空，但这对我来说并不明显 - 我假设我需要通过使用 ¬A.

以某种方式让 Agda 明白这一点

我是在正确的轨道上，还是完全错了？我应该如何编写这个 ∨-identity-indirect 函数？

Answer 1

Suggesting me that I need to produce ⊥ ∨ B by having ¬A and A ∨ B. I'd like to somehow replace A in A ∨ B with ¬A A, but I don't think there's a way of doing so. When trying to apply the ∨-identity case analysis pattern to ∨-identity-indirect, I get an error message that A should be empty, but that's not obvious to me - I assume I need to somehow make this obvious to Agda, by making use of ¬A.

您可能正在尝试对 ¬ A 类型的值与 () 进行模式匹配，但这不起作用，因为 ¬ A 扩展为 A -> ⊥，也就是说，这是一个函数，在你给它一些 A 之后，它只会 return 你 ⊥。以下是您的操作方法：

replace-A : {A B : Set} → (¬ A) → (A ∨ B) → ⊥ ∨ B
replace-A f (v-left  x) = v-left (f x)
replace-A _ (v-right y) = v-right y

有了这个，∨-identity-indirect就简单了：

∨-identity-indirect : {A B : Set} → (¬ A) ∧ (A ∨ B) → B
∨-identity-indirect ⟨ ¬A , A∨B ⟩ = ∨-identity (replace-A ¬A A∨B)

需要关于证明一些直觉逻辑陈述的提示

Need hints about proving some intuitionistic logic statements

functional-programming

agda

dependent-type