约束高阶多项式回归

Question

我正在做一些骨骼分割，而这个分割的结果是在这个骨骼周围以圆形图案放置点。然而，由于它是使用 qCT 扫描拍摄的，因此我所拥有的点上有很多噪音（例如来自肉体）。所以总的问题是如何消除这种噪音。

我现在正在做的是将其转换为移位数据上的极坐标，这样我就可以根据角度获得从骨骼中心到该点的距离数据。

[THETA,RHO] = car2pol(N(1,:),N(2,:),center);
[THETA, id] = unique(THETA);

一旦我有了这些数据，我就会进行高阶 (30) 多项式回归，它可以很好地消除噪声并产生漂亮的平滑曲线。

[p,~,mu] = polyfit(THETA,RHO,30);
RHO = polyval(p,THETA,[],mu);

然后我将其转换回笛卡尔坐标：

[x,y] = pol2car(THETA,RHO,center);

我这里唯一的问题是起点和终点在回归后不一定是同一个点，它们应该是。所以我的问题是，你能做某种类型的约束多项式回归，我可以强制第一个点的 y 值与另一个端点的 y 值具有相同的值吗？或者还有其他方法吗？

Answer 1

我推荐傅立叶回归，而不是多项式回归，即

rho = a0 + a1 * cos(theta) + a2 * cos(2*theta) + a3 * cos(3*theta) + ...
           b1 * sin(theta) + b2 * sin(2*theta) + b3 * sin(3*theta) + ...

例如，给出以下几点

>> plot(x, y, '.')

可以转极坐标

>> [theta, r] = cart2pol(x, y);

并创建正弦和余弦数组

>> X = ones(size(theta, 1), 1);
>> for n = 1:N
       X(:, end+1) = cos(n * theta);
       X(:, end+1) = sin(n * theta);
   end

和运行标准线性回归

>> b = regress(r, X);

然后您可以获得预测并转换回笛卡尔坐标来绘制它

>> rhat = X * b;
>> [xhat,yhat] = pol2cart(theta, rhat);

这给出了

>> plot(x, y, '.');
>> hold on;
>> plot(xhat, yhat, 'r', 'LineWidth', 2)

Constrained high order polynomial regression