Python泊松统计有反概率质量函数吗？

Question

我正在寻找泊松统计的逆 pmf。 inverse 我的意思是 inv_pmf(p, k) 函数 returns 分布参数 lambda。为清楚起见，参数使用如下：p = lambda^k / k! * exp（-lambda）。谢谢

Answer 1

所以你有概率方程 p(k,λ) = λ^k e^-λ/k!。你知道 p 和 k 但想知道 λ。好吧，从 lhs 和 rhs 取对数，得到简单的方程式。

log(p) = k*log(λ) - λ - log(k!)

或

λ = k*log(λ) - log(p) - log(G(k+1))，其中 G() 是 Gamma 函数，在 Python 库中可用.您可以绘制 RHS 和 LHS 之间的差异，并看到它可能有多个解决方案。他们使用 Python fsolve 函数，你可以从那个非线性方程中求根。

代码（Python 3.7，Anaconda，Windows 10 x64）

#%%    
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def logrhs(p, k, λ):
    return k*np.log(λ) - math.log(p) - math.lgamma(k+1)

def poissonPMF(k, λ):
    lp = k*np.log(λ) - λ - math.lgamma(k+1)
    return np.exp(lp)

p = 0.2
k = 3.0

λλ = np.linspace(0.001, 10.0, 101)

#%%    
rhs = logrhs(p, k, λλ)
lhs = np.copy(λλ)

pmf = poissonPMF(k, λλ)

plt.plot(λλ, lhs - rhs, 'r')
plt.plot(λλ, pmf, 'g')
plt.show()

# %%
from scipy.optimize import fsolve

def f(x):
    return x - logrhs(p, k, x)

starting_guess = 4.0
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

starting_guess = 1.9
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

举个例子，我用k=3，p=0.2来测试。对我来说，它打印出两个根

(array([3.90263215]), array([0.2]))
(array([2.24859448]), array([0.2]))

并验证概率确实等于 0.2。图表显示红线在两个地方越过 0

Python泊松统计有反概率质量函数吗？

Is there an inverse probability mass function for Poisson statistics in Python?

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