如何解决 FStar 中的这种类型冲突？

Question

这是一个简单的模式生成器，returns 是 1:nat 的列表。 lemma_1 证明生成的任意长度列表的每个位置都有一个 1。必须引入 nth_1 的 lng 参数，否则 n 将被限制为 n:nat{n < length lst}，导致与 lemma_1 中的 n 类型冲突其类型为 n:nat{n < lng}。如果没有额外的参数，这怎么能解决？

val length: list 'a -> nat
let rec length lst = 
match lst with
  | [] -> 0
  | _ :: t -> 1 + length t

val nth_1 : lst: list nat {length lst > 0} -> (lng: nat) -> n: nat {n < lng} -> nat
let rec nth_1 lst lng n =
  match lst with
  | [h] -> h
  | h :: t -> if n = 0 then h else nth_1 t (lng - 1) (n - 1)

val gen_1 : lng: nat {lng > 0} -> list nat
let rec gen_1 lng =
match lng with 
  | 1 -> [1]
  | _ -> 1 :: gen_1 (lng - 1)

let rec lemma_1 (lng: nat {lng > 0}) (n: nat {n < lng})  : Lemma ((nth_1 (gen_1 lng) lng n) = 1) =
match n with
  | 0 -> ()
  | _ -> lemma_1 (lng - 1) (n - 1)

问题似乎与 gen_1 模式长度不能为零的约束有关。有没有更好的表达方式？

Answer 1

这是避免额外参数的一种方法（请参阅内联评论）：

module Test

val length: list α → ℕ
let rec length lst =
match lst with
  | [] → 0
  | _ ⸬ t → 1 + length t

//the refinement on n is not really necessary here, the proofs work even without it
//because as soon as we have [h], irrespective of the value of n, we return h
val nth_1 : lst: list ℕ {length lst > 0} → n: ℕ{n < length lst} → ℕ
let rec nth_1 lst n =
  match lst with
  | [h] → h
  | h ⸬ t → if n = 0 then h else nth_1 t (n - 1)

//refine the return type to say that it returns a list of length lng
val gen_1 : lng: pos → (l:list ℕ{length l == lng})
let rec gen_1 lng =
match lng with
  | 1 → [1]
  | _ → 1 ⸬ gen_1 (lng - 1)

let rec lemma_1 (lng: pos) (n: ℕ {n < lng})  : Lemma ((nth_1 (gen_1 lng) n) = 1) =
match n with
  | 0 → ()
  | _ → lemma_1 (lng - 1) (n - 1)

如何解决 FStar 中的这种类型冲突？

How to resolve this type conflict in FStar?

fstar