特征向量很复杂，但仅适用于大型矩阵
Eigenvectors are complex but only for large matrices
我正在尝试计算该矩阵的特征向量和特征值
import numpy as np
la = 0.02
mi = 0.08
n = 500
d1 = np.full(n, -(la+mi), np.double)
d1[0] = -la
d1[-1] = -mi
d2 = np.full(n-1, la, np.double)
d3 = np.full(n-1, mi, np.double)
A = np.diagflat(d1) + np.diagflat(d2, -1) + np.diag(d3, 1)
e_values, e_vectors = np.linalg.eig(A)
如果我将矩阵的维度设置为 n < 110，则输出很好。但是，如果我将它设置为 n >= 110，则特征值和特征向量分量都会变成具有显着虚部的复数。为什么会这样？它应该发生吗？这是非常奇怪的行为，坦率地说，我有点卡住了。
您看到的似乎是相当正常的舍入误差。这是以有限精度存储浮点数的不幸结果。对于大问题，它自然会变得相对更糟。这是特征值的实部与虚部的关系图：
你可以看到虚数实际上是噪声。这并不是说它们不重要。这是虚部与实部的关系图，表明在最坏的情况下该比率可以达到 0.06：
此比率相对于绝对量和相对量 la 和 mi 发生变化。如果将两者都乘以 10，则会得到
如果你保持la = 0.02并设置mi = 0.8，你得到一个较小的虚部：
当你反其道而行之时，事情会变得很奇怪，将 la 增加 10 倍，保持 mi 不变：
对于较小的特征值，计算的相对精度会降低，所以这并不奇怪。
鉴于虚部相对较小的量级（至少对于重要的特征值而言），您可以采用结果的量级或实部，因为您知道所有特征值都是实数。
我正在尝试计算该矩阵的特征向量和特征值
import numpy as np
la = 0.02
mi = 0.08
n = 500
d1 = np.full(n, -(la+mi), np.double)
d1[0] = -la
d1[-1] = -mi
d2 = np.full(n-1, la, np.double)
d3 = np.full(n-1, mi, np.double)
A = np.diagflat(d1) + np.diagflat(d2, -1) + np.diag(d3, 1)
e_values, e_vectors = np.linalg.eig(A)
如果我将矩阵的维度设置为 n < 110，则输出很好。但是，如果我将它设置为 n >= 110，则特征值和特征向量分量都会变成具有显着虚部的复数。为什么会这样？它应该发生吗？这是非常奇怪的行为，坦率地说，我有点卡住了。
您看到的似乎是相当正常的舍入误差。这是以有限精度存储浮点数的不幸结果。对于大问题，它自然会变得相对更糟。这是特征值的实部与虚部的关系图：
你可以看到虚数实际上是噪声。这并不是说它们不重要。这是虚部与实部的关系图，表明在最坏的情况下该比率可以达到 0.06：
此比率相对于绝对量和相对量 la 和 mi 发生变化。如果将两者都乘以 10，则会得到
如果你保持la = 0.02并设置mi = 0.8，你得到一个较小的虚部：
当你反其道而行之时，事情会变得很奇怪，将 la 增加 10 倍，保持 mi 不变：
对于较小的特征值，计算的相对精度会降低，所以这并不奇怪。
鉴于虚部相对较小的量级（至少对于重要的特征值而言），您可以采用结果的量级或实部，因为您知道所有特征值都是实数。