复厄密矩阵的特征分析：EIG 和 EIGH 的不同相位角

Question

我知道特征向量只定义为一个乘法常数。据我所知，所有 numpy 算法（例如 linalg.eig、linalg.eigh、linalg.svd）都会为 实矩阵 产生相同的特征向量，所以显然他们使用相同的规范化。然而，在复杂矩阵的情况下，算法会产生不同的结果。

也就是说，特征向量相同直到（复数）常数 z。在对 eig 和 eigh 进行了一些试验后，我意识到 eigh 总是将相位角（定义为 arctan(complex part/real part)）设置为 0 每个的第一个分量特征向量而 eig 似乎以一些（任意？）非零相位角开始。

问：有没有办法按照 eig 的方式对 eigh 的特征向量进行归一化（即不强制相角 = 0）？

例子

我有一个复杂的厄密矩阵 G，我想使用以下两种算法计算其特征向量：

numpy.linalg.eig 对于实数/复数方阵
numpy.linalg.eigh对于实对称/复厄密矩阵（1 的特例）

检查 G 是否为 hermitian

# check if a matrix is hermitian
def isHermitian(a, rtol=1e-05, atol=1e-08):
    return np.allclose(a, a.conjugate().T, rtol=rtol, atol=atol)

print('G is hermitian:', isHermitian(G))

输出：

G is hermitian: True

执行特征分析

# eigenvectors from EIG()
l1,u1 = np.linalg.eig(G)
idx = np.argsort(l1)[::-1]
l1,u1 = l1[idx].real,u1[:,idx]

# eigenvectors from EIGH()
l2,u2 = np.linalg.eigh(G)
idx = np.argsort(l2)[::-1]
l2,u2 = l2[idx],u2[:,idx]

检查特征值

print('Eigenvalues')
print('eig\t:',l1[:3])
print('eigh\t:',l2[:3])

输出：

Eigenvalues
eig     : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]
eigh    : [2.55621629e+03 3.48520440e+00 3.16452447e-02]

两种方法产生相同的特征向量。

检查特征向量

现在查看特征向量（例如 3. 特征向量），它们相差一个常数因子 z。

multFactors = u1[:,2]/u2[:,2]
if np.count_nonzero(multFactors[0] == multFactors):
    print("All multiplication factors are same:", multFactors[0])
else:
    print("Multiplication factors are different.")

输出：

All multiplication factors are same: (-0.8916113627685007+0.45280147727156245j)

检查相位角

现在检查 3. 特征向量的第一个分量的相位角：

print('Phase angel (in PI) for first point:')
print('Eig\t:',np.arctan2(u1[0,2].imag,u1[0,2].real)/np.pi)
print('Eigh\t:',np.arctan2(u2[0,2].imag,u2[0,2].real)/np.pi)

输出：

Phase angel (in PI) for first point:
Eig     : 0.8504246311627189
Eigh    : 0.0

复制图的代码

num = 2
fig = plt.figure()
gs = gridspec.GridSpec(2, 3) 
ax0 = plt.subplot(gs[0,0])
ax1 = plt.subplot(gs[1,0])
ax2 = plt.subplot(gs[0,1:])
ax3 = plt.subplot(gs[1,1:])
ax2r= ax2.twinx()
ax3r= ax3.twinx()
ax0.imshow(G.real,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax1.imshow(G.imag,vmin=-30,vmax=30,cmap='RdGy')
ax2.plot(u1[:,num].real,label='eig')
ax2.plot((u2[:,num]).real,label='eigh')
ax3.plot(u1[:,num].imag,label='eig')
ax3.plot((u2[:,num]).imag,label='eigh')
for a in [ax0,ax1,ax2,ax3]:
    a.set_xticks([])
    a.set_yticks([])
ax0.set_title('Re(G)')
ax1.set_title('Im(G)')
ax2.set_title('Re('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax3.set_title('Im('+str(num+1)+'. Eigenvector)')
ax2.legend(loc=0)
ax3.legend(loc=0)
fig.subplots_adjust(wspace=0, hspace=.2,top=.9) 
fig.suptitle('Eigenanalysis of Hermitian Matrix G',size=16)
plt.show()

Answer 1

根据我的经验（这里有很多问题可以支持这一点），当 eigh 是一个选项时，您 永远不会 想使用 eig - eig 非常慢而且非常不稳定。这样做的相关性是我相信你的问题是落后的——你想将 eig 的特征向量归一化为 eigh 的特征向量，而你知道该怎么做。

Answer 2

正如您所说，特征值问题仅将特征向量固定为标量x。将特征向量 v 转换为 v = v*x 不会改变其作为特征向量的状态。

有一种“明显”的方式来归一化向量（根据欧氏内积 np.vdot(v1, v1)），但这只能固定标量的振幅，它可能是复数。

固定角度或“相位”有点武断，没有进一步的上下文。我尝试了 eigh()，实际上它只是使向量的第一个条目变为实数（带有明显的随机符号！？）。

eig() 而是选择将具有最大实部的向量条目变为实数。例如，这是我得到的随机 Hermitian 矩阵：

n = 10
H = 0.5*(X + X.conj().T)
np.max(la.eig(H)[1], axis=0)

# returns
array([0.57590624+0.j, 0.42672485+0.j, 0.51974879+0.j, 0.54500475+0.j,
       0.4644593 +0.j, 0.53492448+0.j, 0.44080532+0.j, 0.50544424+0.j,
       0.48589402+0.j, 0.43431733+0.j])

这可以说是更明智的，因为如果第一个条目恰好非常小，那么像 eigh() 那样只选择第一个条目并不是很稳健。选择最大值可以避免这种情况。我不确定 eig() 是否也修复了符号（随机矩阵不是一个很好的测试用例，因为特征向量中的所有条目都具有负实部是非常不寻常的，这是唯一的情况其中会出现一个未固定的标志）。

无论如何，我不会依赖特征求解器使用任何特定的固定相的方法。它没有记录在案，因此原则上将来可能会发生变化。相反，您可以自己修复这些阶段，也许 eig() 现在就是这样做的。

复厄密矩阵的特征分析：EIG 和 EIGH 的不同相位角

Eigenanalysis of complex hermitian matrix: different phase angles for EIG and EIGH

python

numpy

matrix

eigenvector

例子