用 `np.linalg.solve()` 计算 `AB⁻¹`

Question

我需要在 Python / Numpy 中为两个矩阵 A 和 B 计算 AB⁻¹（当然，B 是正方形）。

我知道 np.linalg.inv() 可以让我计算 B⁻¹，然后我可以将其与 A 相乘。我也知道 B⁻¹A 实际上是用 np.linalg.solve().

计算的

受此启发，我决定用 np.linalg.solve() 重写 AB⁻¹。我得到了一个基于 identity (AB)ᵀ = BᵀAᵀ 的公式，它使用 np.linalg.solve() 和 .transpose():

np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()

这似乎在做这项工作：

import numpy as np


n, m = 4, 2
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)))
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

并且对于足够大的输入也更快：

n, m = 400, 200
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

%timeit np.matmul(b, np.linalg.inv(a))
# 100 loops, best of 3: 13.3 ms per loop
%timeit np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()
# 100 loops, best of 3: 7.71 ms per loop

我的问题是：这个恒等式总是是否正确或我忽略了一些极端情况？

Answer 1

一般来说，np.linalg.solve(B, A)等同于B-1A。剩下的只是数学。

在所有情况下，(AB)T = BTAT: https://math.stackexchange.com/q/1440305/295281.

对于这种情况没有必要，但对于可逆矩阵，(AB)-1 = B-1 A-1: https://math.stackexchange.com/q/688339/295281.

对于一个可逆矩阵，还有(A-1)T = (A T)-1: https://math.stackexchange.com/q/340233/295281.

由此得出 (AB-1)T = (B- 1)TAT = (BT) -1AT。只要 B 是可逆的，在任何情况下您提出的转换都不会有问题。

用 `np.linalg.solve()` 计算 `AB⁻¹`

Computing `AB⁻¹` with `np.linalg.solve()`

python

numpy

linear-algebra

matrix-inverse