为什么 G3 连续性只能在两条边之间实现？
Why is G3 continuity only achievable between two edges?
为什么 G3 连续性只能在两条边之间实现？
比如曲线1/2/3、4/5/6、7/8/9、10/11/12都是G3连续的。中心曲面在边 5/2 上使用 G3 约束构建。既然曲线1/2/3、4/5/6已经是G3，为什么8/11边只能实现G1切线呢？
我不能只构建一个函数来使用每个 u/v 的边缘控制点的一阶、二阶和三阶导数来计算与该边缘控制点相邻的 3 个控制点以实现 G3 on所有 4 个边？
无法将中心曲面构建为所有4个曲面的G3的原因是因为4个曲面可能不在具有G3连续性的4个角点处相交。事实上，对于曲线 1/2/3、4/5/6、7/8/9、10/11/12 都是 G3 连续的给定条件，只能确保 4 个曲面在 4 个角点处相交G1连续性。
以下是根据 OP 的要求提供的更多详细信息。
我们将 4 个表面中的两个表示为表面 A 和 B，控制点 P 和 Q 重合，如下图所示。
A面在P点的法向量是向量(P,P1)和向量(P,P2)的叉积，B面在Q点的法向量是向量(Q ,Q1) 和向量 (Q,Q2)。由于曲线 1 和 2 以 G3 连续性连接，这意味着矢量（P，P1）平行于矢量（Q，Q1）。类似地，我们有与向量（Q，Q2）平行的向量（P，P2）。因此，我们可以得出结论，A面和B面在P点（或Q点）具有相同的单位法向量，这意味着这两个面满足G1连续性。
为了使表面 A 和 B 在点 P 与 G2 相交，每个表面的另外 3 个控制点将涉及（在图中显示为表面 A 的绿点 P3、P4 和 P5）。所有这 12 个控制点（每个表面 6 个）需要形成特定的关系，以使两个表面满足 G2 连续性。曲线 1/2 和 8/9 与 G3 连续性相连的事实仅影响 P3 和 P5 的位置，而不影响 P4 的位置。因此，它不能确保两个曲面在 A 点满足 G2 连续性，更不用说 G3 连续性了。
为什么 G3 连续性只能在两条边之间实现？
比如曲线1/2/3、4/5/6、7/8/9、10/11/12都是G3连续的。中心曲面在边 5/2 上使用 G3 约束构建。既然曲线1/2/3、4/5/6已经是G3，为什么8/11边只能实现G1切线呢？
我不能只构建一个函数来使用每个 u/v 的边缘控制点的一阶、二阶和三阶导数来计算与该边缘控制点相邻的 3 个控制点以实现 G3 on所有 4 个边？
无法将中心曲面构建为所有4个曲面的G3的原因是因为4个曲面可能不在具有G3连续性的4个角点处相交。事实上，对于曲线 1/2/3、4/5/6、7/8/9、10/11/12 都是 G3 连续的给定条件，只能确保 4 个曲面在 4 个角点处相交G1连续性。
以下是根据 OP 的要求提供的更多详细信息。
我们将 4 个表面中的两个表示为表面 A 和 B，控制点 P 和 Q 重合，如下图所示。
A面在P点的法向量是向量(P,P1)和向量(P,P2)的叉积，B面在Q点的法向量是向量(Q ,Q1) 和向量 (Q,Q2)。由于曲线 1 和 2 以 G3 连续性连接，这意味着矢量（P，P1）平行于矢量（Q，Q1）。类似地，我们有与向量（Q，Q2）平行的向量（P，P2）。因此，我们可以得出结论，A面和B面在P点（或Q点）具有相同的单位法向量，这意味着这两个面满足G1连续性。
为了使表面 A 和 B 在点 P 与 G2 相交，每个表面的另外 3 个控制点将涉及（在图中显示为表面 A 的绿点 P3、P4 和 P5）。所有这 12 个控制点（每个表面 6 个）需要形成特定的关系，以使两个表面满足 G2 连续性。曲线 1/2 和 8/9 与 G3 连续性相连的事实仅影响 P3 和 P5 的位置，而不影响 P4 的位置。因此，它不能确保两个曲面在 A 点满足 G2 连续性，更不用说 G3 连续性了。