Sympy：如何使用第二个量化模块获得简化的换向器？

Question

所以我想利用 [b,bd]=1 的事实，其中 [] 是换向器，使用 sympy 获得一些更复杂表达式的换向器，而不是手动完成，但是我得到包含换向器但未替换为 1 的巨大表达式，这是代码

from sympy import *
from sympy.physics.secondquant import * 
comm1=simplify(Commutator(B(0),Bd(0)).doit())
comm1

这种情况下的输出是 1 ，它对应于 [b,bd]=1 的情况，但是如果我输入更复杂的表达式，例如


w1,w2,g=symbols('w1 w1 g')
H=w1*B(0)*Bd(0)+w2*B(1)*Bd(1)+g*Bd(0)*B(1)+conjugate(g)*Bd(1)*B(0)

comm2=simplify(Commutator(H,B(0)))
print(simplify(comm2))

我明白了

-g*(AnnihilateBoson(0)*CreateBoson(0)*AnnihilateBoson(1) - CreateBoson(0)*AnnihilateBoson(1)*AnnihilateBoson(0)) - w1*(AnnihilateBoson(0)*AnnihilateBoson(1)*CreateBoson(1) - AnnihilateBoson(1)*CreateBoson(1)*AnnihilateBoson(0)) + w1*(AnnihilateBoson(0)*CreateBoson(0)*AnnihilateBoson(0) - AnnihilateBoson(0)**2*CreateBoson(0)) - conjugate(g)*(AnnihilateBoson(0)*CreateBoson(1)*AnnihilateBoson(0) - CreateBoson(1)*AnnihilateBoson(0)**2)

如果 [b,bd]=1 被替换，这显然会简化很多，有人知道怎么做吗？或者谁能告诉我另一个能够做到这一点的工具？

Answer 1

关键技巧始终是使用换向关系将 'a' 或 'a^\dagger' 向左移动，直到你不能再这样做为止。

我没有一个好的 Sympy 答案，但既然你问过其他工具，这里有一个关于你如何在 Cadabra (https://cadabra.science) 中做到这一点的无耻插件（尽管它使用 Sympy 做各种事情）不是这个特定的计算）。首先设置两组 creation/annihilation 运算符使用：

{a_{0}, ad_{0}}::NonCommuting;
{a_{1}, ad_{1}}::NonCommuting;
{a_{0}, ad_{0}, a_{1}, ad_{1}}::SortOrder.

他们会打印得更好

\bar{#}::Accent;
ad_{n?}::LaTeXForm("a^\dagger",n?,"").

你的哈密顿量：

H:= w_{1} a_{0} ad_{0} + w_{2} a_{1} ad_{1} + g ad_{0} a_{1} + \bar{g} ad_{1} a_{1};

您要计算的换向器：

ex:= @(H) a_{0} - a_{0} @(H);

只是扩展这个（没有使用 [a,ad]=1 换向器进行简化）

distribute(ex);
sort_product(ex);

第二行将具有不同下标的运算符相互移动，但保持具有相同下标的运算符的顺序。应用换向器直到表达式不再改变：

converge(ex):
    substitute(ex, $a_{n?} ad_{n?} = ad_{n?} a_{n?} + 1$)
    distribute(ex)
;

最后给'-a_0 w_1 - a_1 g'.

Sympy：如何使用第二个量化模块获得简化的换向器？

Sympy: How to get simplified commutators using the second quantization module?

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