循环以最小化 python 中的数组函数

Question

我有一些大数组，每个数组都有 i 个元素，称它们为 X、Y、Z，为此我需要找到一些值 a、b——其中 a 和 b 是 0 到 1 之间的实数——这样即，对于以下功能，

r = X - a*Y - b*Z
r_av = Sum(r)/i
rms = Sum((r - r_av)^2), summing over the i pixels

我想最小化均方根。基本上我希望最小化 r 中的散点，因此需要找到正确的 a 和 b 来做到这一点。到目前为止，我一直想通过以下两种方式之一在嵌套循环中执行此操作：1) 只是循环遍历可能的 a、b 范围，然后选择最小的 rms，或者 2) 插入一个 while 语句，以便循环将例如，一旦 rms 停止随着 a、b 的减小而减小，则终止。这是这些的一些伪代码：

1) List

for a = 1
for b = 1
calculate m
b = b - .001
a = a - .001
loop 1000 times
sort m values, from smallest
print (a,b) corresponding to smallest m

2) Terminate

for a = 1
for b = 1
calculate m
while m > previous step, 
    b = b - .001
a = a - .001

其中之一更可取吗？或者还有另一种更好的方法来解决这个问题吗？任何提示将非常感谢。

Answer 1

已经有一个 handy formula 用于最小二乘拟合。

我想出了两种不同的方法来解决你的问题。

对于第一个，考虑矩阵K:

L = len(X)
K = np.identity(L) - np.ones((L, L)) / L

在您的例子中，A 和 B 定义为：

A = K.dot(np.array([Y, Z]).transpose())
B = K.dot(np.array([X]).transpose())

应用公式找到使误差最小化的 C A * C - B:

C = np.linalg.inv(np.transpose(A).dot(A))
C = C.dot(np.transpose(A)).dot(B)

那么结果是：

a, b = C.reshape(2)

此外，请注意 numpy 已经提供了 linalg.lstsq 做完全相同的事情：

a, b = np.linalg.lstsq(A, B)[0].reshape(2)

更简单的方法是将 A 定义为：

A = np.array([Y, Z, [1]*len(X)]).transpose()

然后根据X求解得到系数和平均值：

a, b, mean = np.linalg.lstsq(A, X)[0]

如果您需要此结果的证明，请查看 this post。

示例：

>>> import numpy as np
>>> X = [5, 7, 9, 5]
>>> Y = [2, 0, 4, 1]
>>> Z = [7, 2, 4, 6]
>>> A = np.array([Y, Z, [1] * len(X)]).transpose()
>>> a, b, mean = np.linalg.lstsq(A, X)[0]
>>> print(a, b, mean)
0.860082304527 -0.736625514403 8.49382716049

循环以最小化 python 中的数组函数

Loops to minimize function of arrays in python

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