使用实验数据进行二重积分

Question

我需要使用实验数据执行二重积分，但我的积分限制对于每个积分都是相同的，在本例中是时间。在数学上我需要计算：

E [ a₀+ ∫₀^T a(t)dt ] = a + lim_{Tx → ∞} (1/T) ∫₀^T ∫₀^t一个dt dT

经过一番搜索，我到达了：

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

代码花了很长时间运行并给出了巨大的价值。我认为我的问题是 Matlab 可能无法处理样条曲线，但我不知道如何解决。

Answer 1

首先，你不应该用同一个字母来表示一堆东西；您的代码很难阅读，因为必须弄清楚 T 在每个实例中的含义。

其次，纯数学帮助：变变量和简单计算后，二重积分变为单积分：

∫₀^T ∫₀^x a(t) dt dx = ∫₀^T ∫_t^T a(t) dx dt = ∫₀^T (T-t)*a(t) dt

我在较小范围内使用非随机数据进行演示：

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

输出：

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

同样的结果，快了 3800 倍。

使用实验数据进行二重积分

Double integration using experimental data

integration

matlab

splines